Question

[Nhàn Phan]

+ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho m, n là hai số thực dương thỏa mãn m + 2n = 1. Gọi A, B, C lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (P): mx + ny + mnz – mn = 0 với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Khi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có bán kính nhỏ nhất thì 2m + n có

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Từ đề bài ta có \(A\left(n;0;0\right);B\left(0;m;0\right);C\left(0;0;1\right)\)

Gọi \(r\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông \(OAB\)

\(\Rightarrow r=\frac{AB}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{m^2+n^2}\)

\(\Rightarrow R=\sqrt{\left(\frac{OC}{2}\right)^2+r^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\left(m^2+n^2\right)}=\frac{1}{2}\sqrt{m^2+n^2+1}\)

Do \(m+2n=1\Rightarrow m=1-2n\)

\(\Rightarrow R=\frac{1}{2}\sqrt{\left(1-2n\right)^2+n^2+1}=\frac{1}{2}\sqrt{5n^2-4n+2}\)

\(\Rightarrow R=\frac{1}{2}\sqrt{5\left(n-\frac{2}{5}\right)^2+\frac{6}{5}}\ge\frac{1}{2}\sqrt{\frac{6}{5}}\)

\(\Rightarrow R_{min}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{6}{5}}=\frac{\sqrt{30}}{10}\) khi \(n=\frac{2}{5}\Rightarrow m=\frac{1}{5}\Rightarrow2m+n=\frac{4}{5}\)