Question

[Machiko Kayoko]

Cho đường tròn tâm O đường kính AB,lấy T,S thuộc AB sao cho T và S đối xứng qua O.T nằm giữa A,O lấy M thuộc đường tròn tâm O(M khác A,B) nối MT,MO,MF các đường thẳng này cắt đường tròn O lần lượt tại C,E,D.CD cắt AB tại F qua D kẻ đường thẳng song song AB nó cắt ME tại L,MC tại N

a)Chứng minh:NL=DN

b)Kẻ OH vuông góc CD.Chứng minh:HLDE nội tiếp

c)Chứng minh EF là tiếp tuyến đường tròn tâm O

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

a) Ta thấy:

\(\triangle MNL, TO\parallel NL\) nên áp dụng định lý Ta-let suy ra \(\frac{TO}{NL}=\frac{MO}{ML}\)

\(\triangle MDL, SO\parallel DL\) nên áp dụng định lý Ta-let suy ra \(\frac{OS}{LD}=\frac{MO}{ML}\)

\(\Rightarrow \frac{TO}{NL}=\frac{SO}{LD}\). Mà $TO=SO$ (do tính đối xứng) nên \(NL=LD\) (đpcm)

b)

$OH$ vuông góc với dây cung $CD$ nên $H$ là trung điểm của $CD$

Theo phần a ta cũng có $L$ là trung điểm của $DN$

Do đó $HL$ là đường trung bình ứng với cạnh $NC$ của tam giác $DNC$

\(\Rightarrow HL\parallel NC\Rightarrow \widehat{DHL}=\widehat{DCN}\) (so le trong)

Mà \(\widehat{DCN}=\widehat{DCM}=\widehat{DEM}=\widehat{DEL}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung $DM$)

\(\Rightarrow \widehat{DHL}=\widehat{DEL}\Rightarrow HLDE\) nội tiếp (đpcm)

c)

Vì \(DN\parallel AF\Rightarrow \widehat{HDL}=\widehat{HFO}\) (đồng vị)

Mà \(\widehat{HDL}=\widehat{HEL}=\widehat{HEO}\) (do tứ giác $HLDE$ nội tiếp)

\(\Rightarrow \widehat{HFO}=\widehat{HEO}\Rightarrow OHEF\) nội tiếp

\(\Rightarrow \widehat{OEF}=\widehat{OHF}=90^0\) (cùng nhìn cạnh $OF$)

\(\Rightarrow OE\perp EF\)

\(\Rightarrow \) $EF$ là tiếp tuyến của $(O)$ (đpcm)

P/s: Mình đã bổ sung điều kiện cho điểm $M$, nếu $M$ nằm chính giữa cung $AB$ thì $CD\parallel AB$ nên không thể cắt $AB$ tại $F$.

Answer 2

[Akai Haruma]

Hình vẽ: