Question

[đoàn ngọc hân]

cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB .Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đg thẳng AB ,kẻ tiếp tuyến Ax vuông góc vs AB từ điểm M trên tia Ax kẻ tiếp tuyến MC vs nửa đg tròn đoạn AC cắt OM tại E, MB cắt nửa đg tròn tại D

a, cm các tứ giác AMCO,AMDE nội tiếp

b, cm \(\Delta MDO\approx\Delta MEB\)

c, gọi H là hình chiếu vuông góc vs C lên AB , I là giao điểm của MB và CH.CM đg thẳng EI\(\perp AM\)

HELP ME TỐI PHẢI NỘP RÙI

Answer 1

[Ngô Kim Tuyền]

a) Ta có: \(\widehat{OAM}=\widehat{OCM}=90^o\) ( MA và MC là các tiếp tuyến của (O))

\(\Rightarrow\widehat{OAM}+\widehat{OCM}=180^o\)

Mà \(\widehat{OAM}\) và \(\widehat{OCM}\) đối nhau

Nên tứ giác AMCO nội tiếp

Ta lại có: OA = OC = R \(\Rightarrow\Delta AOC\) cân tại O (1)

Mà OM là phân giác của \(\widehat{AOC}\) ( MA và MC là tiếp tuyến) (2)

Từ (1), (2) \(\Rightarrow OM\) cũng là đường cao của \(\Delta AOC\)

\(\Rightarrow OM\perp AC\)

\(\Rightarrow\widehat{AEM}=90^o\) (3)

Mặt khác \(\widehat{ADB}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))

\(\Rightarrow\widehat{MDA}=90^o\) (4)

Mà D và E cùng nhìn cạnh MA (5)

Từ (3), (4), (5) \(\Rightarrow\) Tứ giác AMDE nội tiếp (6)

b) Từ (6) \(\Rightarrow\widehat{EDB}=\widehat{EAM}\) (góc ngoài) (7)

Mà \(\widehat{EAM}=\widehat{EOA}\) (cùng phụ với \(\widehat{EAO}\)) (8)

Từ (7), (8) \(\Rightarrow\) \(\widehat{EDB}=\widehat{EOA}\)

Nên tứ giác OEDB nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{EOD}=\widehat{DBE}\)

Hay \(\widehat{MOD}=\widehat{MBE}\) (9)

Mà \(\widehat{DME}\) là góc chung của \(\Delta MDO\) và \(\Delta MEB\) (10)

Từ (9), (10) \(\Rightarrow\Delta MDO\sim\Delta MEB\) (G - G)

c) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}CH\perp AB\left(gt\right)\left(11\right)\\MA\perp AB\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow CH\) // MA (12)

\(\Rightarrow\widehat{ECI}=\widehat{EAM}\) (13)

Từ (7), (13) \(\Rightarrow\widehat{EDB}=\widehat{ECI}\) hay \(\widehat{EDI}=\widehat{ECI}\) (14)

Mà D và C cùng nhìn cạnh EI (15)

Từ (14), (15) \(\Rightarrow\) Tứ giác EDCI nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{DCE}=\widehat{DIE}\) (góc nội tiếp cùng chắn \(\stackrel\frown{ED}\) của đường tròn ngoại tiếp EDCI) (16)

Mà \(\widehat{DCA}=\widehat{DBA}\) (góc nội tiếp cùng chắn \(\stackrel\frown{AD}\) của (O)) hay \(\widehat{DCE}=\widehat{DBA}\left(17\right)\)

Từu (16), (17) \(\Rightarrow\widehat{DIE}=\widehat{DBA}\)

Mà 2 góc trên ở vị trí đồng vị

\(\Rightarrow EI\) // AB (18)

Từ (11), (18) \(\Rightarrow CH\perp EI\) (19)

Từ (12), (19) \(\Rightarrow EI\perp MA\)