CMR: Với mọi số nguyên n ( n>1)
Thì n3 - 13n chia hết cho 6
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HP
22 tháng 8 2021
a, Nếu \(n=3k\left(k\in Z\right)\Rightarrow A=n^3-n=27k^3-3k⋮3\)
Nếu \(n=3k+1\left(k\in Z\right)\)
\(\Rightarrow A=n^3-n\)
\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
\(=\left(3k+1\right).3k.\left(3k+2\right)⋮3\)
Nếu \(n=3k+2\left(k\in Z\right)\)
\(\Rightarrow A=n^3-n\)
\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
\(=\left(3k+2\right)\left(n+1\right)\left(3k+3\right)⋮3\)
Vậy \(n^3-n⋮3\forall n\in Z\)
CM
7 tháng 1 2018
a) Gợi ý: phân tích 50 n + 2 - 50 n + 1 = 245.10. 50 n .
b) Gợi ý: phân tích n 3 - n = n(n - 1)(n +1).
27 tháng 7 2016
Ta có :
\(n^3-13n=\left(n^3-n\right)-12n\)
\(=n\left(n^2-1\right)-6.\left(2n\right)\)
\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)-6\left(2n\right)\)
\(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3; hay chia hết cho 6.
Mà \(6\left(2n\right)\) chia hết cho 6
\(\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)-6\left(2n\right)\)chia hết cho 6
Do đó \(n^3-13n\)chia hết cho 6.
O
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
10 tháng 12 2023
Lời giải:
Vì $n, n+1$ là hai số tự nhiên liên tiếp nên trong đó sẽ tồn tại 1 số chẵn và 1 số lẻ.
$\Rightarrow n(n+1)\vdots 2$
$\Rightarrow n(n+1)(13n+17)\vdots 2(*)$
Mặt khác:
Nếu $n$ chia hết cho 3 thì $n(n+1)(13n+7)\vdots 3$
Nếu $n$ chia 3 dư $1$: Đặt $n=3k+1$ thì:
$13n+17=13(3k+1)+17=39k+30=3(13k+10)\vdots 3$
$\Rightarrow n(n+10)(13n+17)\vdots 3$
Nếu $n$ chia 3 dư $2$. Đặt $n=3k+2$ thì:
$n+1=3k+3=3(k+1)\vdots 3$
$\Rightarrow n(n+1)(13n+17)\vdots 3$
Vậy $n(n+1)(13n+17)\vdots 3$ với mọi $n$ tự nhiên $(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow n(n+1)(13n+17)\vdots 6$.
TM
0
TN
2 tháng 9 2017
a)Ta có :
\(n^3-13n\) = \(n^3-12n-n\)\(=n\left(n^2-1\right)-12n\)\(=n.\left(n-1\right)\left(n+1\right)-6.2n\)
* n ; n-1 và n+1 là 3 số nguyên liên tiếp nên n.(n-1)(n+1) chia hết cho 6 vs 6.2n cũng chia hết cho 6
\(\Rightarrow\) n\(^3\)-13n chia hết cho 6
b)Ta có :A=n\(^5\)−5n\(^3\)+4\(n\)=n(n\(^4\)−5n\(^2\)+4)=n[n\(^2\)(n\(^2\)−1)−4(n\(^2\)−1)]=n(n\(^2\)−1)(n\(^2\)−4)=(n−2)(n−1)n(n+1)(n+2)
Vì (n−2)(n−1)n(n+1)(n+2)(n−2)(n−1)n(n+1)(n+2) là tích 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5 (1)
(n−2)(n−1)n(n+1)(n+2)(n−2)(n−1)n(n+1)(n+2) chứa tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3 (2)
(n−2)(n−1)n(n+1)(n+2)(n−2)(n−1)n(n+1)(n+2) chứa tích của 2 số chẵn liên tiếp nên chia hết cho 8 (3)
Mà (3;5;8) =1 (4)
Từ (1) , (2) , (3) , (4) => A⋮(3.5.8)
=> A⋮120
c) Ta có: n^3+3.n^2-n-3=n^2.(n+3) -(n+3)=(n+3).(n-1).(n+1).
-Do n là số lẻ nên đặt n=2k+1.(k thuộc N).
=> n^3+3.n^2-n-3= (2k+4).2k.(2k+2)= 8.k.(k+1).(k+2).
-Do k(k+1) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp nên k(k+1) chia hết cho 2 và k(k+1)(k+2) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên k(k+1)(k+2) chia hết cho 3.
=> 8k(k+1)(k+2) chia hết cho 16 và chia hết cho 3. Mà (16,3)=1.
=> 8k(k+1)(k+2) chia hết cho 16.3.
=> n^3+3.n^2-n-3 chia hết cho 48 với mọi n là số tự nhiên lẻ (đpcm).
PT
1
CM
6 tháng 12 2019
A = n3 – n (có nhân tử chung n)
= n(n2 – 1) (Xuất hiện HĐT (3))
= n(n – 1)(n + 1)
n – 1; n và n + 1 là ba số tự nhiên liên tiếp nên
+ Trong đó có ít nhất một số chẵn ⇒ (n – 1).n.(n + 1) ⋮ 2
+ Trong đó có ít nhất một số chia hết cho 3 ⇒ (n – 1).n.(n + 1) ⋮ 3
Vậy A ⋮ 2 và A ⋮ 3 nên A ⋮ 6.
S
3
PA
15 tháng 9 2016
n3 - 13n
= n3 - n - 12n
= n(n2 - 1) - 12n
= n(n - 1)(n + 1) - 12n
n(n - 1)(n + 1) chia hết cho 6 (tích của 3 số nguyên liên tiếp)
- 12n chia hết cho 6
Vậy n3 - 13n chia hết cho 6 (đpcm)
1
Do n nguyên và n > 1 nên \(n\ge2\)
Với n = 2 \(n^3-13n=-18⋮6\)
Giả sử đúng với n = k (k>1) tức là \(k^3-13k⋮6\)
Ta chứng minh điều có đúng với n = k + 1
Thật vậy: \(\left(k+1\right)^3-13\left(k+1\right)=k^3+3k^2+3k+1-13k-13\)
\(=\left(k^3-13k\right)+\left(3k^2+3k-12\right)\)
Ta chỉ cần chứng minh: \(3k^2+3k-12⋮6\)
\(\Leftrightarrow3\left(k^2+k\right)⋮6\Leftrightarrow k^2+k⋮2\)
Tới đây xét tính chẵn lẻ nữa là xong=)
n3 -13n = n3 - n - 12n = n(n2-1) - 12n = (n-1)n(n+1) - 12n
Ta có: (n-1)n(n+1) là 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6 và 12n chia hết cho 6 => n3 -13n \(⋮\)6