Question

[Lê Tú Bắc]

-Khối cầu đặc đồng chất tâm O, bán kính R, khối lượng m phân bố đều, Người ta khoét bên trong khối cầu đó một lỗ hổng cũng có dạng hình cầu tâm O', bán kính r = R/2. biết O cách O' 1 đoạn d =R/2. tinh momen quán tính của các phần còn lại của khối cầu đối với trục quay trong các trường hợp :
- Chứa O và O'.
- Chứa O và vuông góc với OO'
- Chứa O' và vuông góc với OO'

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Ý tưởng chung là "bù" phần bị khoét, coi như nó đặc, như vậy ta luôn có \(I_O+I_{O'}=I_C\) với \(I_C\) là mômen quán tính của hình cầu đặc hoàn hảo khi chưa bị khoét \(\Rightarrow I_O=I_C-I_{O'}\)

Ta có khối lượng đã bị khoét:

\(\frac{m'}{m}=\left(\frac{r}{R}\right)^3\Rightarrow m'=\frac{m}{8}\)

TH1: Trục quay qua \(OO':\)

\(I_O=I_C-I_{O'}=\frac{2}{5}mR^2-\frac{2}{5}m'.r=\frac{2}{5}mR^2-\frac{2}{5}.\frac{m}{8}.\left(\frac{R}{2}\right)^2=\frac{31}{80}mR^2\)

TH2: Chứa O và vuông góc OO':

Áp dụng định lý Steiner-Huyghen, momen quán tính của phần tưởng tượng \(O'\) với trục qua O và vuông góc OO':

\(I_{O'}=\frac{2}{5}\frac{m}{8}\left(\frac{R}{2}\right)^2+\frac{m}{8}.\left(\frac{R}{2}\right)^2=\frac{7}{160}mR^2\)

\(\Rightarrow I_O=I_C-I_{O'}=\frac{2}{5}mR^2-\frac{7}{160}mR^2=\frac{57}{160}mR^2\)

- TH3: Chứa O' và vuông góc OO':

Áp dụng định lý Steiner-Huyghen, momen của khối chưa bị khoét \(I_C\) với trục mới:

\(I_C=\frac{2}{5}mR^2+m.\left(\frac{R}{2}\right)^2=\frac{13}{20}mR^2\)

\(\Rightarrow I_O=I_C-I_{O'}=\frac{13}{20}mR^2-\frac{2}{5}.\frac{m}{8}.\left(\frac{R}{2}\right)^2=\frac{51}{80}mR^2\)

Answer 2

[Lê Tú Bắc]

...