CHỨNG TỎ:
\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{10^2}< 1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
22 tháng 5 2021
Giải:
a) \(\dfrac{7}{x}< \dfrac{x}{4}< \dfrac{10}{x}\)
\(\Rightarrow7< \dfrac{x^2}{4}< 10\)
\(\Rightarrow\dfrac{28}{4}< \dfrac{x^2}{4}< \dfrac{40}{4}\)
\(\Rightarrow x^2=36\)
\(\Rightarrow x=6\)
b) \(A=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{9^2}\)
Ta có:
\(\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{2.2}< \dfrac{1}{1.2}\)
\(\dfrac{1}{3^2}=\dfrac{1}{3.3}< \dfrac{1}{2.3}\)
\(\dfrac{1}{4^2}=\dfrac{1}{4.4}< \dfrac{1}{3.4}\)
\(...\)
\(\dfrac{1}{9^2}=\dfrac{1}{9.9}< \dfrac{1}{8.9}\)
\(\Rightarrow A< \dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{8.9}\)
\(\Rightarrow A< \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{9}\)
\(\Rightarrow A< \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{9}\)
\(\Rightarrow A< \dfrac{8}{9}\left(1\right)\)
Ta có:
\(\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{2.2}>\dfrac{1}{2.3}\)
\(\dfrac{1}{3^2}=\dfrac{1}{3.3}>\dfrac{1}{3.4}\)
\(\dfrac{1}{4^2}=\dfrac{1}{4.4}>\dfrac{1}{4.5}\)
\(...\)
\(\dfrac{1}{9^2}=\dfrac{1}{9.9}>\dfrac{1}{9.10}\)
\(\Rightarrow A>\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+\dfrac{1}{4.5}+...+\dfrac{1}{9.10}\)
\(\Rightarrow A>\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+...+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{10}\)
\(\Rightarrow A>\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{10}\)
\(\Rightarrow A>\dfrac{2}{5}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2), ta có:
\(\Rightarrow\dfrac{2}{5}< A< \dfrac{8}{9}\left(đpcm\right)\)
EK
25 tháng 5 2021
Bạn có thể viết thay dòng "Từ (1) và (2)" thành "Từ các điều kiện trên" bạn nhé !(bạn ko cần phải sửa, đây chỉ là gợi ý)
KH
1
DL
9 tháng 5 2017
Bài này nhiều người đăng lắm,bạn vào câu hỏi tương tự
Đặt B=\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{10^2}\)
Đặt A =\(\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+...+\frac{1}{9\cdot10}\)
\(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1\cdot2}\)
\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{3\cdot2}\)
...
\(A=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}\)
\(A=1-\frac{1}{10}< 1\)
\(\Rightarrow B< A< 1\left(đpcm\right)\)
NT
3
10 tháng 5 2017
Đặt A=đã cho.
Ta thấy:
1/2^2<1/1*2(vì 2^2>1*2).
1/3^2<1/2*3(vì 3^2>2*3).
...
1/10^2<1/9*10(vì 10^2>9*10).
=>A<1/1*2+1/2*3+1/3*4+...+1/9*10.
=>A<1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/9-1/10.
=>A<1-1/10.
=>A<9/10.
Mà 9/10<1.
=>A<1.
Vậy A<1(đpcm).
LH
11 tháng 8 2016
Ta có:
A = \(\frac{1}{2^2}\) + \(\frac{1}{3^2}\) + \(\frac{1}{4^2}\)+....+ \(\frac{1}{11^2}\)
A = \(\frac{1}{2.2}\) + \(\frac{1}{3.3}\) + \(\frac{1}{4.4}\)+....+ \(\frac{1}{11.11}\)
A < \(\frac{1}{1.2}\) + \(\frac{1}{2.3}\) +\(\frac{1}{3.4}\) + .... + \(\frac{1}{10.11}\)
A < 1 - \(\frac{1}{2}\)+ \(\frac{1}{2}\) - \(\frac{1}{3}\) + \(\frac{1}{3}\) - \(\frac{1}{4}\) + ...... + \(\frac{1}{10}\) - \(\frac{1}{11}\)
A < 1 - \(\frac{1}{11}\)
\(\Rightarrow\) A < \(\frac{10}{11}\)
11 tháng 8 2016
Ta có : \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}\)
\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}\)
.........
\(\frac{1}{11^2}< \frac{1}{10.11}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{11^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{10.11}\)
Lại có : \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{10.11}\)
\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{10}-\frac{1}{11}\)
\(=1-\frac{1}{11}\)
\(=\frac{10}{11}\)
Vậy \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{11^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{10.11}=\frac{10}{11}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+..+\frac{1}{11^2}< \frac{10}{11}\) ( đpcm )
VP
2
22 tháng 3 2018
Ta có : \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}\)
\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}\)
....
\(\frac{1}{10^2}\)< \(\frac{1}{9.10}\)
=> \(\frac{1}{2^2}+....+\frac{1}{10^2}\)< \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+.....+\frac{1}{9.10}\)
=> \(\frac{1}{2^2}+....+\frac{1}{10^2}\)< \(\frac{9}{10}\)< 1
=> \(\frac{1}{2^2}+....+\frac{1}{10^2}\)< 1 ( dpcm )
PL
1
8 tháng 8 2017
\(D< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+.....+\frac{1}{9.10}.\)
\(D< \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-....+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}\)
\(D< 1-\frac{1}{10}\)
\(D< \frac{9}{10}\)
\(\frac{9}{10}< 1\Rightarrow D< 1\)
21 tháng 9 2015
a) Đặt \(A=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{10}}\)=> \(2.A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^9}\)
=> \(2.A-A=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^9}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^9}+\frac{1}{2^{10}}\right)\)
\(A=1-\frac{1}{2^{10}}\)=> \(1-A=1-\left(1-\frac{1}{2^{10}}\right)=\frac{1}{2^{10}}>\frac{1}{2^{11}}\)=> đpcm
b) Đặt B = \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}\)
Vì \(\frac{1}{2^2}
Lời giải:
Ta có:
\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+....+\frac{1}{10^2}< \underbrace{\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+....+\frac{1}{9.10}}_{M}\)
Mà:
\(M=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+....+\frac{1}{9.10}=\frac{2-1}{1.2}+\frac{3-2}{2.3}+\frac{4-3}{3.4}+....+\frac{10-9}{9.10}\)
\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+....+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}\)
\(=1-\frac{1}{10}<1\)
Do đó: \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{10^2}< 1\)
Ta có đpcm.
CẢM ƠN NHÌU