cho x,y khác 0. chứng minh x^2/y^2+y^2/x^2 lớn hơn hoặc bằng x/y +y/x
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 6 2019
Đề bài sai nếu \(x;y\in R\)
Cho \(y=4;x=-0,000001\) thì vế trái ra 1 số âm có trị tuyệt đối cực to
Đề đúng phải là \(x;y\in R^+\)
Làm trong trường hợp đề đã chỉnh lại:
\(VT=x+y+\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}=\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}+\frac{y}{2}+\frac{2}{y}+\frac{1}{2}\left(x+y\right)\)
\(VT\ge2\sqrt{\frac{x}{2}.\frac{1}{2x}}+2\sqrt{\frac{y}{2}.\frac{2}{y}}+\frac{1}{2}.3=\frac{9}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\)
29 tháng 9 2018
\(a)\) Giả sử \(\left|x\right|+\left|y\right|\ge\left|x+y\right|\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)^2\ge\left|x+y\right|^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left|x\right|^2+2\left|xy\right|+\left|y\right|^2\ge\left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2+2\left|xy\right|+y^2\ge x^2+2xy+y^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(2\left|xy\right|\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left|xy\right|\ge xy\) ( luôn đúng )
\(b)\) Giả sử \(\left|x\right|-\left|y\right|\le\left|x-y\right|\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(\left|x\right|-\left|y\right|\right)^2\le\left|x-y\right|^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left|x\right|^2-2\left|xy\right|+\left|y\right|^2\le\left(x-y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2-2\left|xy\right|+y^2\le x^2-2xy+y^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(-2\left|xy\right|\le-2xy\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left|xy\right|\ge xy\) ( luôn đúng )
Chúc bạn học tốt ~
PD
2
LM
2 tháng 9 2016
a/ Giả sử: |x| + |y| < |x + y| => ( |x| + |y| )2 < ( |x + y|2) => x2 + 2 . |x| . |y| + y2 < x2 + 2xy + y2 => |x| . |y| < xy (Vô lý)
=> |x| + |y| \(\ge\) |x + y|
b/ Giả sử: |x| - |y| > |x - y| => ( |x| - |y| )2 > ( |x - y|2) => x2 - 2 . |x| . |y| + y2 < x2 - 2xy + y2 => - |x| . |y| > -xy (Vô lý)
=> |x| - |y| \(\le\) |x - y|
LM
2 tháng 9 2016
Cách 2:
a/ Giả sử: |x| + |y|\(\ge\)|x + y| => ( |x| + |y| )2 \(\ge\) ( |x + y|2) => x2 + 2 . |x| . |y| + y2 \(\ge\) x2 + 2xy + y2 => |x| . |y| \(\ge\) xy (Bất đẳng thức đúng)
Vậy |x| + |y| \(\ge\) |x + y|
b/ Giả sử: |x| - |y| \(\le\)|x - y| => ( |x| - |y| )2 \(\le\)( |x - y|2) => x2 - 2 . |x| . |y| + y2 \(\le\)x2 - 2xy + y2 => - |x| . |y| \(\le\) -xy (Bất đẳng thức đúng)
Vậy |x| - |y| \(\le\) |x - y|
T
6 tháng 8 2016
a, \(^{\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2\ge0\\\left(y-z\right)^2\ge0\\\left(z-x\right)^2\ge0\end{cases}\Rightarrow}x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2xz+z^2\ge0}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\Rightarrow xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
\(\Rightarrow A\le\frac{a^2}{3}\). dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=a/3
b,Ap dụng bđt bunhia ta đc \(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2=a^2\Rightarrow B\ge\frac{a^2}{3}\)
dấu = xảy ra khi x=y=z=a/3
Ta có: \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^4+y^4}{x^2y^2}\ge\frac{x^2+y^2}{xy}\Leftrightarrow\frac{x^4+y^4}{x^2y^2}\ge\frac{x^3y+xy^3}{x^2y^2}\)
\(\Leftrightarrow x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\Leftrightarrow x^4+y^4-x^3y-xy^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)(đúng)
Các phép biến đổi là tương đương suy ra đpcm
Dấu "=" xảy ra khi x=y
cám ơn bạn nha