Cho \(\Delta\) ABC có \(\widehat{B}-\widehat{C}=90^o\). Các đường phân giác trong và ngoài của \(\widehat{A}\) cắt BC ở D và E. Chứng minh \(\Delta\) ADE vuông cân
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Hình bạn tự vẽ nha!
Ta có:
AH_|_BC(AH là đường cao tam giác ABC)
DK_|_BC(DK là đường trung trực của BC)
=>AH//DK(t/c đường thẳng song song)
=>góc AED=góc EDK(so le trong) (1)
=>góc BEH=góc EDK( 2 góc đồng vị) (2)
Từ (1),(2) suy ra:
góc AED=góc BEH=góc EDK=góc BDK(do E là giao điểm của AH và BD)
Mặt khác:
Xét tam giác BKD và tam giác DKC,có:
DK cạnh chung
BK=KC( K là trung điểm của BC)
góc BKD=góc DKC=1 vuông
=> tam giác BKD=tam giác DKC(c.g.c)
=>BD=DC
=>tam giác BDC cân tại D
Nên góc BDK=góc CDK(t/c tam giác cân) (3)
Lại do: AH//DK
=>góc CDK=góc DAH( 2 góc đồng vị) (4)
Từ (3),(4)=>góc BDK=góc DAH
Mà góc AED=góc BDK( so le trong)
E là giao điểm của BD và AH(gt)
Nên E nằm giữa BD và AH
=>góc DAE=góc DAH=góc AED
=>tam giác ADE cân tại D ( đpcm)
Có: \(AD\perp AE\)(t/c đường phân giác trong và ngoài)\(\Rightarrow\Delta_vADE\) vuông tại A.
Xét tam giác ABE:
\(\widehat{ABC}=\widehat{E}+\widehat{EAB}\)(T/c góc ngoài)
\(\Leftrightarrow\widehat{C}+90^o=\widehat{EAB}+\widehat{E}\)
\(\Leftrightarrow\widehat{C}+90^o=90^o-\widehat{BAD}+\widehat{E}\)
\(\Leftrightarrow\widehat{C}=\widehat{E}-\widehat{DAC}\)(AD là p/g trong)
\(\Leftrightarrow\widehat{E}=\widehat{C}+\widehat{DAC}=\widehat{ADE}\)(t/c góc ngoài)
\(\Rightarrow\Delta ADE\) vuông cân.