Tìm giá trị nhỏ nhất của
A=xy/z +yz/x +zx/y với x^2 +y^2+z^2=1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PT
6
18 tháng 2 2020
Cách 1:
Ta có \(A=xy+yz+2zx\)
\(\Rightarrow A+1=x^2+y^2+z^2+xy+yz+2zx\)
\(=\left(x+z+\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3}{4}y^2\ge0\)
\(\Rightarrow A\ge-1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}y=0\\x=-z\end{cases}}\)
TT
18 tháng 2 2020
Ta có : \(\left(x+y+z\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx\ge\frac{-\left(x^2+y^2+z^2\right)}{2}=-\frac{1}{2}\)
Lại có : \(\left(x+z\right)^2\ge0\Rightarrow xz\ge\frac{-\left(x^2+z^2\right)}{2}=\frac{y^2-1}{2}\ge-\frac{1}{2}\)
Khi đó : \(xy+yz+2zx\ge-1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=o\\x^2=z^2=\frac{1}{2}\end{cases}}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 4 2021
\(A=\dfrac{2x^2}{2x+2yz}+\dfrac{2y^2}{2y+2zx}+\dfrac{2z^2}{2z+2xy}+\dfrac{9}{8\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)
\(A\ge\dfrac{2x^2}{x^2+1+y^2+z^2}+\dfrac{2y^2}{y^2+1+z^2+x^2}+\dfrac{2z^2}{z^2+1+x^2+y^2}+\dfrac{9}{8\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)
\(A\ge\dfrac{2\left(x^2+y^2+z^2\right)}{x^2+y^2+z^2+1}+\dfrac{9}{8\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)
Đặt \(x^2+y^2+z^2=a>0\)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{2a}{a+1}+\dfrac{9}{8a}=\dfrac{2a}{a+1}+\dfrac{9}{8a}-\dfrac{15}{8}+\dfrac{15}{8}\)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{\left(a-3\right)^2}{8a\left(a+1\right)}+\dfrac{15}{8}\ge\dfrac{15}{8}\)
\(A_{min}=\dfrac{15}{8}\) khi \(a=3\) hay \(x=y=z=1\)
VT
1
KN
24 tháng 8 2020
Bổ đề: \(\left(mn+np+pm\right)^2\ge3mnp\left(m+n+p\right)\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow m^2n^2+n^2p^2+p^2m^2+2mnp\left(m+n+p\right)\ge3mnp\left(m+n+p\right)\)\(\Leftrightarrow m^2n^2+n^2p^2+p^2m^2\ge mnp\left(m+n+p\right)\)\(\Leftrightarrow m^2n^2+n^2p^2+p^2m^2-mnp\left(m+n+p\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(mn-np\right)^2+\left(np-pm\right)^2+\left(pm-mn\right)^2\ge0\)*đúng*
Vậy bổ đề được chứng minh
Áp dụng vào bài toán, ta được: \(\left(xy+yz+zx\right)^2\ge3xyz\left(x+y+z\right)\)hay \(\left(xy+yz+zx\right)^2\ge3\left(x+y+z\right)\)(Do xyz = 1)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+y+z}\ge\frac{3}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\Rightarrow A\ge\frac{3}{\left(xy+yz+zx\right)^2}-\frac{2}{xy+yz+zx}\)
Đặt \(\frac{1}{xy+yz+zx}=s\)thì \(A\ge3s^2-2s=3\left(s^2-\frac{2}{3}s+\frac{1}{9}\right)-\frac{1}{3}=3\left(s-\frac{1}{3}\right)^2-\frac{1}{3}\ge-\frac{1}{3}\)
Vậy \(A\ge-\frac{1}{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\x=y=z\\\frac{1}{xy+yz+zx}=\frac{1}{3}\end{cases}}\Rightarrow x=y=z=1\)
Vậy \(MinA=-\frac{1}{3}\), đạt được khi x = y = z = 1
BT
14 tháng 5 2021
Ta có x2-xy+y2=\(\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2+3\left(\dfrac{x-y}{2}\right)^2\)\(\ge\)\(\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2\)
=>\(\dfrac{\sqrt{x^2-xy+y^2}}{x+y+2z}\ge\dfrac{x+y}{2\left(x+y+2z\right)}\)(1) . Tương tự ...
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}y+z=a\\x+z=b\\x+y=c\end{matrix}\right.\)(a,b,c>0). Khi đó ta có :
S=\(\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{a}{b+c}\right)\ge\dfrac{3}{4}\) (Netbit)
Lời giải:
Đặt (xyz;yzx;xzy)=(a,b,c)(xyz;yzx;xzy)=(a,b,c)
⇒⎧⎪⎨⎪⎩y2=abx2=acz2=bc⇒{y2=abx2=acz2=bc
Bài toán trở thành: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn ab+bc+ac=1ab+bc+ac=1
Tìm min $S=a+b+c$
Theo hệ quả quen thuộc của BĐT Cauchy: (a+b+c)2≥3(ab+bc+ac)(a+b+c)2≥3(ab+bc+ac)
⇒S=√(a+b+c)2≥√3(ab+bc+ac)=√3⇒S=(a+b+c)2≥3(ab+bc+ac)=3
Vậy Smin=√3⇔a=b=c=13⇔x=y=z=1√3
Bạn bôi xanh câu hỏi của bạn rồi kéo thả lên chỗ tìm kiếm ; tìm
Tìm GTNN của S=xy/z+yz/x+zx/y biết x^2+y^2+z^2=1 - H7.netOK !