cho abc thỏa mãn a+b+c=0 CMR ab+bc+canhor hơn hoặc bằng 0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
1
23 tháng 12 2015
Đề : ab + 4bc + ca \(\le\)0
Có : a + b + c = 0 => a = - b - c
Thay vào ab + 4bc + ca \(\le\)0 ta đc:
(-b - c).b + 4bc + c.(-b - c) \(\le\) 0
=> -b2 - bc + 4bc - bc - c2 \(\le\)0
=> -b2 - c2 + 2bc \(\le\)0
=> - (b2 - 2bc + c2) \(\le\) 0
=> -(b - c)2 \(\le\) 0 (luôn đúng)
Vậy ab + 4bc + ca \(\le\) 0
NP
1
PM
0
DT
3
21 tháng 3 2018
Ta có :
\(a+b+c=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b+c\right)^2=0^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(a^2+b^2+c^2+\left(2ab+2bc+2ac\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(a^2+b^2+c^2=-\left(2ab+2bc+2ac\right)\)
Vì \(a^2+b^2+c^2\ge0\)
Nên \(-\left(2ab+2bc+2ac\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\)\(2ab+2bc+2ac\le0\)
\(\Rightarrow\)\(2\left(ab+bc+ac\right)\le0\)
\(\Rightarrow\)\(ab+bc+ac\le0\) ( đpcm )
Công thức lớp 8 chứ ko phải lớp 6 nhé
Chúc bạn học tốt ~
PM
20 tháng 3 2018
cm bđt ab+bc+ca \(\le\)\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)(biến đổi tương đương )
\(\Rightarrow\)ab+bc+ca \(\le\frac{0^2}{3}=0\)-đpcm
YN
4
KN
13 tháng 11 2019
Ta có: \(a+b+c=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=0\)
Mà \(a^2+b^2+c^2\ge0\)nên \(2\left(ab+bc+ac\right)\le0\)
\(\Rightarrow ab+bc+ac\le0\left(đpcm\right)\)
21 tháng 3 2020
Ta có : a + b + c = 0
\( \implies\) b + c = - a ; a + b = - c
Ta có : ab + 2bc + 3ca
= ab + 2bc + ca + 2ca
= ( ab + ca ) + ( 2bc + 2ca )
= a ( b + c ) + 2c ( a + b )
= a ( - a ) + 2c ( - c )
= - a2 - 2c2
= - ( a2 + 2c2 ) ( * )
Mà : a2 \(\geq\) 0 ; 2c2 \(\geq\) 0
\( \implies\) a2 + 2c2 \(\geq\) 0 ( ** )
Từ ( * ) ; ( ** )
\( \implies\) - ( a2 + 2c2 ) \(\leq\) 0
\( \implies\) ab + 2bc + 3ca \(\leq\) 0
ML
8 tháng 8 2016
B2: \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=4\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a+b+c=2\\a+b+c=-2\end{cases}}\)
TH1: \(a+b+c=2\Rightarrow c=2-\left(a+b\right)\)
\(a^2+b^2+c^2=2\)\(\Leftrightarrow a^2+b^2+\left(2-a-b\right)^2=2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+ab-2\left(a+b\right)+1=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+\left(b-2\right)a+b^2-2b+1=0\)
Xem đây là một phương trình bậc hai ẩn a, tham số b.
Để tồn tại a thỏa phương trình trên thì \(\Delta\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(b-2\right)^2-4\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow b\left(3b-4\right)\le0\)\(\Leftrightarrow0\le b\le\frac{4}{3}\)
Do vai trò của a, b, c là như nhau nên \(0\le a,b,c\le\frac{4}{3}\)
(hoặc đổi biến thành b và tham số a --> CM được a, rồi thay \(b=2-c-a\) sẽ chứng minh được c)
TH2: \(a+b+c=-2\) --> tương tự trường hợp 1 nhưng kết quả sẽ là
\(-\frac{4}{3}\le a,b,c\le0\)
Kết hợp 2 trường hợp lại, ta có đpcm.
N
26 tháng 12 2019
De dung la:
\(\Sigma_{cyc}\frac{1}{1+a^2+b^2}\le\frac{9}{5}\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{a^2+b^2}{1+a^2+b^2}\ge\frac{6}{5}\)
\(VT\ge\frac{\left(\Sigma_{cyc}\sqrt{a^2+b^2}\right)^2}{2\Sigma_{cyc}a^2+3}\left(M\right)\)
Consider:
\(VT_M\ge\frac{6}{5}\)
\(5\Sigma_{cyc}\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\ge\Sigma_{cyc}a^2+9\)
Consider:
\(5\Sigma_{cyc}\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\ge5\Sigma_{cyc}a^2+5\Sigma_{cyc}ab=5\Sigma_{cyc}a^2+5\)
Gio can cung minh:
\(5\Sigma_{cyc}a^2+5\ge\Sigma_{cyc}a^2+9\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}a^2\ge1\)
Ta lai co:
\(\Sigma_{cyc}a^2\ge\Sigma_{cyc}ab=1\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
bình phương pt a+b+c=0 lên ta đc a^2+b^2+c^2+...=0
mà a^2+b^2+c^2>=0
suy ra 2(ab+ac+bc) bé hơn hoặc bằng 0
hay ab+ac+bc bé hơn hoặc bằng 0
cám ơn tui giải đc roi đăng lên cho có không khí thôi