Cho a,b,c >0. Chứng minh rằng: \(\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)\ge3\left(a+b+c\right)^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
24 tháng 7 2023
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a^2-bc=x\\b^2-ca=y\\c^2-ab=z\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x+y+z\ge0\)
\(\)Đẳng thức cần c/m trở thành: \(x^3+y^3+z^3\ge3xyz\left(1\right)\)
Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM cho 3 số x,y,z, ta có:
\(x^3+y^3+z^3\ge3\sqrt[3]{x^3.y^3.z^3}=3xyz\)
=> Đẳng thức (1) luôn đúng với mọi x
Dấu = xảy ra khi: x=y=z hay \(a^2-bc=b^2-ca=c^2-ab\)
và \(a^2+b^2+c^2-\left(ab+bc+ca\right)=0\)\(\Rightarrow a=b=c\)
18 tháng 12 2019
\(\frac{\Sigma_{cyc}a^3\left(b-c\right)}{\Sigma_{cyc}a^2\left(b-c\right)}=\frac{-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(a+b+c\right)}{-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
CH
Cô Hoàng Huyền
Admin
VIP
4 tháng 12 2017
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có :
\(\left(a+b+c\right)^2\le\left(a^2+2\right)\left[1+\frac{\left(b+c\right)^2}{2}\right]\)
Tiếp theo ta chứng minh \(3\left[1+\frac{\left(b+c\right)^2}{2}\right]\le\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)\)
Thật vậy, \(bpt\Leftrightarrow6+3b^2+3c^2+6bc\le2b^2c^2+4b^2+4c^2+8\)
\(\Leftrightarrow b^2+c^2+2b^2c^2-6bc+2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(b^2-bc+c^2\right)+2\left(bc-1\right)^2\ge0\) (Đúng)
Vậy thì \(3\left(a+b+c\right)^2\le\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)\) (đpcm)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 3 2020
Bạn tham khảo:
Câu hỏi của tran duc huy - Toán lớp 10 | Học trực tuyến
TK: