Mọi người giúp với:
Cho a,b,c là 3 số thực dương bất kì. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\dfrac{1346}{a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}}-\dfrac{2019}{\sqrt{a+b+c}}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 6 2021
\(\sqrt{\dfrac{ab}{c+ab}}=\sqrt{\dfrac{ab}{c\left(a+b+c\right)+ab}}=\sqrt{\dfrac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}\right)\)
Tương tự: \(\sqrt{\dfrac{bc}{a+bc}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{a+c}\right)\) ; \(\sqrt{\dfrac{ca}{b+ca}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{c}{b+c}\right)\)
Cộng vế với vế:
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{a}{a+b}\right)=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
1 tháng 9 2021
Cho a, b, c, d là các chữ số thỏa mãn: ab+ca=da ab-ca=a Tìm giá trị của d.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 8 2021
\(\sqrt{ab}+\sqrt{4b.c}+2\left(a+c\right)\le\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)+\dfrac{1}{2}\left(4b+c\right)+2\left(a+c\right)=\dfrac{5}{2}\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{2}{5}\left(\dfrac{1}{a+b+c}-\dfrac{1}{\sqrt{a+b+c}}\right)=\dfrac{2}{5}\left(\dfrac{1}{\sqrt{a+b+c}}-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{10}\ge-\dfrac{1}{10}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=4\\a=b=\dfrac{c}{4}\end{matrix}\right.\) em tự giải ra a;b;c
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 1 2022
\(a^2+b^2-ab\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2-\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2=\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}\le\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2}}=\dfrac{2}{a+b}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)
Tương tự:
\(\dfrac{1}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\) ; \(\dfrac{1}{\sqrt{c^2-ca+a^2}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\right)\)
Cộng vế:
\(P\le\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Theo BĐT Cauchy: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{ab}\le\dfrac{a}{4}+b\\\sqrt[3]{abc}\le\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{a}{4}+b+4c\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}\le a+\dfrac{a}{4}+b+\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{a}{4}+b+4c\right)=\dfrac{4}{3}\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1346}{\dfrac{4}{3}\left(a+b+c\right)}-\dfrac{2019}{\sqrt{a+b+c}}=\dfrac{2019}{2\left(a+b+c\right)}-\dfrac{2019}{\sqrt{a+b+c}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{2P}{2019}\ge\dfrac{1}{a+b+c}-\dfrac{2}{\sqrt{a+b+c}}=\left(\dfrac{1}{\sqrt{a+b+c}}\right)^2-2.\dfrac{1}{\sqrt{a+b+c}}+1-1\)
\(\Rightarrow\dfrac{2P}{2019}\ge\left(\dfrac{1}{\sqrt{a+b+c}}-1\right)^2-1\ge-1\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{-2019}{2}\)
\(\Rightarrow P_{min}=\dfrac{-2019}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{4}=b=4c\\\dfrac{1}{\sqrt{a+b+c}}-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{16}{21}\\b=\dfrac{4}{21}\\c=\dfrac{1}{21}\end{matrix}\right.\)
bạn giỏi quá!
cảm ơn rất nhiều.