cho \(a,b,c\inℝ\)thỏa mãn:\(a^2+2b^2=3c^2.CMR:\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\ge\frac{3}{c}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
17 tháng 10 2020
1. Ta có: \(ab+bc+ca=3abc\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}=m\\\frac{1}{b}=n\\\frac{1}{c}=p\end{cases}}\) khi đó \(\hept{\begin{cases}m+n+p=3\\M=2\left(m^2+n^2+p^2\right)+mnp\end{cases}}\)
Áp dụng Cauchy ta được:
\(\left(m+n-p\right)\left(m-n+p\right)\le\left(\frac{m+n-p+m-n+p}{2}\right)^2=m^2\)
\(\left(n+p-m\right)\left(n+m-p\right)\le n^2\)
\(\left(p-n+m\right)\left(p-m+n\right)\le p^2\)
\(\Rightarrow\left(m+n-p\right)\left(n+p-m\right)\left(p+m-n\right)\le mnp\)
\(\Leftrightarrow m^3+n^3+p^3+3mnp\ge m^2n+mn^2+n^2p+np^2+p^2m+pm^2\)
\(\Leftrightarrow\left(m+n+p\right)\left(m^2+n^2+p^2-mn-np-pm\right)+6mnp\ge mn\left(m-n\right)+np\left(n-p\right)+pm\left(p-m\right)\)
\(=mn\left(3-p\right)+np\left(3-m\right)+pm\left(3-n\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(m^2+n^2+p^2\right)-3\left(mn+np+pm\right)+6mnp\ge3\left(mn+np+pm\right)-3mnp\)
\(\Leftrightarrow3\left(m^2+n^2+p^2\right)+9mnp\ge6\left(mn+np+pm\right)\)
\(\Leftrightarrow xyz\ge\frac{2}{3}\left(mn+np+pm\right)-\frac{1}{3}\left(m^2+n^2+p^2\right)\)
\(\Rightarrow M\ge2\left(m^2+n^2+p^2\right)+\frac{2}{3}\left(mn+np+pm\right)-\frac{1}{3}\left(m^2+n^2+p^2\right)\)
\(=\frac{5}{3}\left(m^2+n^2+p^2\right)+\frac{2}{3}\left(mn+np+pm\right)\)
\(=\frac{4}{3}\left(m^2+n^2+p^2\right)+\frac{1}{3}\left(m^2+n^2+p^2+2mn+2np+2pm\right)\)
\(=\frac{4}{3}\left(m^2+n^2+p^2\right)+\frac{1}{3}\left(m+n+p\right)^2\)
\(\ge\frac{4}{3}\cdot3+\frac{1}{3}\cdot3^2=4+3=7\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(m=n=p=1\Leftrightarrow a=b=c=1\)
T
5 tháng 3 2019
Bài này ngược dấu hay sao ý:
Ta dự đoán dấu "=" xảy ra tại a = b = c =1
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz: \(VT=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\ge\frac{9}{a+2b}\) (1)
Ta có: \(a^2+1\ge2a;2b^2+2\ge4b\Rightarrow a^2+2b^2+3=3c^2+3\ge2\left(a+2b\right)\)
\(\Rightarrow\frac{3c^2+3}{2}\ge a+2b\).Suy ra:\(\frac{9}{a+2b}\ge\frac{18}{3c^2+3}=\frac{6}{c^2+1}\) (2)
Ta sẽ c/m: \(\frac{6}{c^2+1}\ge\frac{3}{c}\).Ta có: \(VT=\frac{6}{c^2+1}=6\left(1-\frac{c^2}{c^2+1}\right)=6-\frac{6c^2}{c^2+1}\ge6-\frac{6c^2}{2c}=6-3c\) (3)
Ta sẽ c/m: \(6-3c\ge\frac{3}{c}\Leftrightarrow3c+\frac{3}{c}\le6\).Mặt khác,theo AM-GM
\(3c+\frac{3}{c}\ge2.\sqrt{3c.\frac{3}{c}}=2.3=6\Rightarrow\) mâu thuẫn?
T
7 tháng 1 2019
Ta có BĐT: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\) (bạn tự c/m,không làm được thì bảo mình :v)
Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\ge\frac{9}{a+2b}\) (1)
Mặt khác: Theo BĐT Bunhiacopxki:
\(\left(1a+2b\right)^2\le\left(1^2+\sqrt{2}^2\right)\left(a^2+\sqrt{2}^2b^2\right)=3.3c^2=9c^2\)
Suy ra \(a+2b\le3c\)
Mặt khác,theo đề bài \(a^2+2b^2=3c^2\Rightarrow a+2b=3c\)
Thay vào (1) suy ra \(VT\ge\frac{9}{a+2b}=\frac{9}{3c}=\frac{3}{c}^{\left(đpcm\right)}\)
TN
10 tháng 9 2017
Sang học 24 tìm ai tên Perfect Blue nhé t làm bên đó rồi đưa link thì lỗi ==" , tìm tên đăng nhập springtime ấy
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 4 2019
1.
\(P=\frac{a^4}{abc}+\frac{b^4}{abc}+\frac{c^4}{abc}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3abc}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)}{3abc\left(a+b+c\right)}\)
\(P\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right).3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}.3\sqrt[3]{abc}}{3abc\left(a+b+c\right)}=\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a+b+c}\)
Dấu "=" khi \(a=b=c\)
2.
\(P=\sum\frac{a^2}{ab+2ac+3ad}\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4.\frac{3}{8}\left(a+b+c+d\right)^2}=\frac{2}{3}\)
Dấu "=" khi \(a=b=c=d\)