Question

[Đào Thị Hoàng Yến]

Cho tam giác ABC có 3 gọc nhọn nội tiếp (O). Các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại h , cắt (O) lần lượt tại M,N,P
CMR : H và M đối xưng quá BC

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Ta có:

\(\widehat{MBD}=\widehat{MBC}=\widehat{MAC}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung $MC$)

Mà \(\widehat{MAC}=\widehat{EBC}=\widehat{HBD}\) (đều \(=90^0-\widehat{C}\) )

\(\Rightarrow \widehat{MBD}=\widehat{HBD}\)

Xét tam giác $MBD$ và $HBD$ có:

\(\widehat{MBD}=\widehat{HBD}\) (cmt)

\(\widehat{MDB}=\widehat{HDB}=90^0\)

\(\Rightarrow \triangle MBD\sim \triangle HBD(g.g)\)

\(\Rightarrow \frac{MD}{HD}=\frac{BD}{BD}=1\Rightarrow MD=HD\)

Vậy $BC$ vừa vuông góc, vừa đi qua trung điểm $D$ của $HM$

Do đó $BC$ là đường trung trực của $HM$ hay $H,M$ đối xứng nhau qua $BC$ (đpcm)

Answer 2

[Akai Haruma]

Hình vẽ: