Đề luyện thi HSG số 4
Bài 1 (4 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức (S – P)2017, biết:
\(S = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} +...+ \frac{1}{2013} - \frac{1}{2014} + \frac{1}{2015}\)
\(P = \frac{1}{1008} + \frac{1}{1009} + \frac{1}{1010} +...+ \frac{1}{2014} + \frac{1}{2015}\)
b) Tính giá trị biểu thức \(B = [\frac{4}{11} . (\frac{1}{25})^0 + \frac{7}{22} . 2]^{2016} - (\frac{1}{2^2} : \frac{8^2}{4^4})^{2017}\)
Bài 2 (6,0 điểm)
a) Tìm x biết: \(|2x + 3| = x + 2\)
b) Tìm số nguyên dương n biết: \(\frac{4^5 + 4^5 + 4^5 + 4^5}{3^5 + 3^5 + 3^5} . \frac{6^5 + 6^5 + 6^5 + 6^5 + 6^5 + 6^5}{2^5 + 2^5} = 2^n\)
c) So sánh \(\sqrt{8} - 1\) và \(2\)
d) Tìm x, y, z biết: \(\left\{\begin{matrix}\frac{3|x| + 5}{3} = \frac{3|y| - 1}{5} = \frac{3 - z}{7}\\2|z| + 7|y| + 3z = -14 \end{matrix}\right.\)
Bài 3 (3,0 điểm) Cho hàm số \(y = |2 - x| - |x + 2| \) (1)
a) Vẽ đồ thị hàm số (1)
b) Dùng đồ thị hàm số (1), tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(A = |2 - x| - |x + 2| - 2017\)
Bài 4 (6,0 điểm) Cho \(\Delta ABC \) \((\hat{C} > 90^o)\). Lấy M là trung điểm của BC. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) tại H cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E, F. Chứng minh rằng:
a) HE = HF
b) \(2\widehat{BME} = \widehat{ACB} - \hat{B}\)
c) \(\frac{EF^2}{4} + AH^2 = AE^2\)
d) BE = CF
Bài 5 (1,0 điểm) Chứng minh P < 1 biết \(P = \frac{1}{3^2} - \frac{1}{3^4} + \frac{1}{3^6} - \frac{1}{3^8} + ...+ \frac{1}{3^{2006}} - \frac{1}{3^{2008}}\)
--- Hết ---
