cho abc>0 thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=0\)chứng minh rằng \(a^3+2b^3+3c^3\ge\dfrac{6}{7}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
3 tháng 5 2018
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\(a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{1+1+1}=\dfrac{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2}{3}=\dfrac{9}{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=\dfrac{1}{2}\)
18 tháng 12 2023
Trước tiên, ta chứng minh \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\) với \(a,b>0\) (*)
(*) \(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\), luôn đúng.
Vậy (*) được chứng minh. Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
\(\Rightarrow VT=a+b+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge a+b+\dfrac{4}{a+b}\)
Đặt \(a+b=t\left(0< t\le\dfrac{1}{2}\right)\)thì
\(VT\ge t+\dfrac{4}{t}\) \(=t+\dfrac{1}{4t}+\dfrac{15}{4t}\) (1)
Bây giờ ta sẽ chứng minh \(a+b\ge2\sqrt{ab}\) với \(a,b>0\) (**)
(**) \(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}\right)^2-2\sqrt{a}\sqrt{b}+\left(\sqrt{b}\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy (**) được chứng minh. Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
Do đó từ (1) \(\Rightarrow VT\ge\left(t+\dfrac{1}{4t}\right)+\dfrac{15}{4t}\)
\(\ge2\sqrt{t.\dfrac{1}{4}t}+\dfrac{15}{4.\dfrac{1}{2}}\) (do \(0< t\le\dfrac{1}{2}\))
\(=\dfrac{17}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}t=a+b=\dfrac{1}{2}\\a=b\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{4}\)
Ta có đpcm.
8 tháng 8 2021
Bài 1:
Ta có: a + b - 2c = 0
⇒ a = 2c − b thay vào a2 + b2 + ab - 3c2 = 0 ta có:
(2c − b)2 + b2 + (2c − b).b − 3c2 = 0
⇔ 4c2 − 4bc + b2 + b2 + 2bc − b2 − 3c2 = 0
⇔ b2 − 2bc + c2 = 0
⇔ (b − c)2 = 0
⇔ b − c = 0
⇔ b = c
⇒ a + c − 2c = 0
⇔ a − c = 0
⇔ a = c
⇒ a = b = c
Vậy a = b = c
9 tháng 7 2019
Áp dụng bđt Cauchy:
\(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự:
\(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2};\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ac}{2}\)
Cộng theo vế: \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge a+b+c-\frac{1}{2}\left(ab+bc+ac\right)\ge3-\frac{1}{6}\left(a+b+c\right)^2=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)\("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Hình như trong này có bài giải bạn vào xem nhée https://cunghocvui.com/danh-muc/toan-lop-10