Giải hpt:\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2x^2}{1+x}=y\\\dfrac{2y^2}{1+y}=z\\\dfrac{2z^2}{1+z}=x\end{matrix}\right.\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Pt đầu chắc là sai đề (chắc chắn), bạn kiểm tra lại
Với pt sau:
Nhận thấy một ẩn bằng 0 thì 2 ẩn còn lại cũng bằng 0, do đó \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;0\right)\) là 1 nghiệm
Với \(x;y;z\ne0\)
Từ pt đầu ta suy ra \(y>0\) , từ đó suy ra \(z>0\) từ pt 2 và hiển nhiên \(x>0\) từ pt 3
Do đó:
\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{2x^2}{x^2+1}\le\dfrac{2x^2}{2x}=x\\z=\dfrac{3y^3}{y^4+y^2+1}\le\dfrac{3y^3}{3\sqrt[3]{y^4.y^2.1}}=y\\x=\dfrac{4z^4}{z^6+z^4+z^2+1}\le\dfrac{4z^4}{4\sqrt[4]{z^6z^4z^2}}=z\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y\le x\\z\le y\\x\le z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=z\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\)
Vậy nghiệm của hệ là \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;0\right);\left(1;1;1\right)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
6. \(\left\{{}\begin{matrix}2y-4=0\\3x+y=-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2\\3x+2=-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2\\x=-2\end{matrix}\right.\)
7. \(\left\{{}\begin{matrix}4x-6y=2\\x-\dfrac{3}{2}y=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2+6y}{4}\\\dfrac{2+6y}{4}-\dfrac{3}{2}y=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2+6y}{4}\\y=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{5}{2}\\y=-2\end{matrix}\right.\)
8. \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{2}=1\\2x+3y=\dfrac{2}{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\left(1-\dfrac{y}{2}\right).3\\6\left(1-\dfrac{y}{2}\right)+3y=\dfrac{2}{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\left(1-\dfrac{y}{2}\right)\\y=\left(VNghiệm\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\) không tồn tại x, y
(Các câu khác tương tự nhé.)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a.
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+xy=7\\\left(x^2+y^2\right)^2-x^2y^2=21\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+xy=7\\\left(x^2+y^2+xy\right)\left(x^2+y^2-xy\right)=21\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+xy=7\\x^2+y^2-xy=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2=5\\xy=2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x^2+\left(\dfrac{2}{x}\right)^2=5\)
\(\Leftrightarrow x^4-5x^2=4=0\)
\(\Leftrightarrow...\)
b.
ĐKXĐ: ...
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+\dfrac{1}{x}+y+\dfrac{1}{y}=7\\\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2=21\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+\dfrac{1}{x}+y+\dfrac{1}{y}=7\\\left(x+\dfrac{1}{x}+y+\dfrac{1}{y}\right)\left(x+\dfrac{1}{x}-y-\dfrac{1}{y}\right)=21\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+\dfrac{1}{x}+y+\dfrac{1}{y}=7\\x+\dfrac{1}{x}-y-\dfrac{1}{y}=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+\dfrac{1}{x}=5\\y+\dfrac{1}{y}=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2-5x+1=0\\y^2-2y+1=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow...\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
\(\left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=2(1)\\ y+\frac{1}{z}=2(2)\\ z+\frac{1}{x}=2(3)\end{matrix}\right.\)
Lấy \((1)-(2); (2)-(3); (3)-(1)\) ta thu được:
\(\left\{\begin{matrix} x-y+\frac{z-y}{yz}=0\\ y-z+\frac{x-z}{xz}=0\\ z-x+\frac{y-x}{xy}=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-y=\frac{y-z}{yz}\\ y-z=\frac{z-x}{xz}\\ z-x=\frac{x-y}{xy}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow (x-y)(y-z)(z-x)=\frac{(x-y)(y-z)(z-x)}{(xyz)^2}\)
\(\Leftrightarrow (x-y)(y-z)(z-x)(1-\frac{1}{xyz})(1+\frac{1}{xyz})=0\)
TH1: \(x-y=0\Leftrightarrow x=y\Rightarrow x+\frac{1}{x}=2\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1=0\Leftrightarrow (x-1)^2=0\Leftrightarrow x=1\rightarrow y=1\)
Thay vào PT\((2)\Rightarrow 1+\frac{1}{z}=2\rightarrow z=1\)
Ta thu được \((x,y,z)=(1,1,1)\)
TH2: \(y-z=0; z-x=0\) hoàn toàn giống TH1 ta cũng có \((x,y,z)=(1,1,1)\)
TH3: \(1-\frac{1}{xyz}=1\Rightarrow xyz=1\)
Thay vào PT(1) và (2)
\(\left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=2\\ y+xy=2\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} xy+1=2y\\ xy=2-y\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow 2-y+1=2y\Leftrightarrow y=1\Rightarrow x=z=1\)
TH4: \(1+\frac{1}{xyz}=0\Leftrightarrow xyz=-1\)
Thay vào PT (1) và (2):
\(\left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=2\\ y-xy=2\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} xy+1=2y\\ xy=y-2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow y-2+1=2y\Leftrightarrow y=-1\)
\(\Rightarrow x+\frac{1}{-1}=2\Rightarrow x=3; -1+\frac{1}{z}=2\Rightarrow z=\frac{1}{3}\)
Thử vào PT(3) thấy không đúng (loại)
Vậy \((x,y,z)=(1,1,1)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
b) Áp dụng bđt Svac-xơ:
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{9}{y}+\dfrac{16}{z}\ge\dfrac{\left(1+3+4\right)^2}{x+y+z}\ge\dfrac{64}{4}=16>9\)
=> hpt vô nghiệm
c) Ở đây x,y,z là các số thực dương
Áp dụng cosi: \(x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xyz\left(x+y+z\right)=3xyz\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{3}{3}=1\)
Bạn tham khảo lời giải tại link sau:
Câu hỏi của Thảo Phương - Toán lớp 9 | Học trực tuyến