Cho a,b,c >0 CMR \(\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2}>=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 8 2021
\(\dfrac{\sqrt{ab+2c^2}}{\sqrt{1+ab-c^2}}=\dfrac{\sqrt{ab+2c^2}}{\sqrt{a^2+b^2+ab}}=\dfrac{ab+2c^2}{\sqrt{\left(a^2+b^2+ab\right)\left(ab+2c^2\right)}}\ge\dfrac{2\left(ab+2c^2\right)}{a^2+b^2+2ab+2c^2}\)
\(\ge\dfrac{2\left(ab+2c^2\right)}{a^2+b^2+a^2+b^2+2c^2}=\dfrac{ab+2c^2}{a^2+b^2+c^2}=ab+2c^2\)
Tương tự và cộng lại:
\(VT\ge ab+bc+ca+2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2+ab+bc+ca\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 9 2019
\(a+b=2c\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=\frac{a+b}{2}\\a-c=c-b\end{matrix}\right.\)
\(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{c}}{a-c}+\frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{b-c}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{c}}{a-c}-\frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{a-c}\)
\(=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-c}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-\frac{a+b}{2}}=\frac{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{a-b}=\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)
25 tháng 5 2017
Nhìn đề thấy mệt nên sửa lại đỡ mệt.
Cho \(\hept{\begin{cases}a,b,c\ge0\\b^2=\frac{a^2+c^2}{2}\end{cases}}\)
Chứng minh rằng: \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}=\frac{2}{c+a}\)
Giải:
Theo đề ta có:
\(b^2=\frac{a^2+c^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow b^2-a^2=c^2-b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(b+a\right)\left(b-a\right)=\left(c+b\right)\left(c-b\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{b-a}{b+c}=\frac{c-b}{a+b}\)
Ta cần chứng minh:
\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}=\frac{2}{c+a}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a+b}-\frac{1}{c+a}\right)+\left(\frac{1}{b+c}-\frac{1}{c+a}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{c-b}{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}+\frac{a-b}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{b-a}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\frac{a-b}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{b-a+a-b}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow0=0\)
Vậy....
26 tháng 8 2021
`sqrta+sqrtb+sqrtc=2`
`<=>(sqrta+sqrtb+sqrtc)^2=4`
`<=>a+b+c+2sqrt{ab}+2sqrt{bc}+2sqrt{ca}=4`
`<=>2sqrt{ab}+2sqrt{bc}+2sqrt{ca}=4-(a+b+c)=4-2-2`
`<=>sqrt{ab}+sqrt{bc}+sqrt{ca}=1`
`=>a+1=a+sqrt{ab}+sqrt{bc}+sqrt{ca}=sqrta(sqrta+sqrtb)+sqrtc(sqrta+sqrtb)=(sqrta+sqrtb)(sqrta+sqrtc)`
Tương tự:`b+1=(sqrtb+sqrta)(sqrtb+sqrtc)`
`c+1=(sqrtc+sqrta)(sqrtc+sqrtb)`
`=>VT=sqrta/((sqrta+sqrtb)(sqrta+sqrtc))+sqrtb/((sqrtb+sqrta)(sqrtb+sqrtc))+sqrtc/((sqrtc+sqrta)(sqrtc+sqrtb))`
`=>VT=(sqrta(sqrtb+sqrtc)+sqrtb(sqrtc+sqrta)+sqrtc(sqrta+sqrtb))/((sqrta+sqrtb)(sqrtb+sqrtc)(sqrtc+sqrta))`
`=(sqrt{ab}+sqrt{ac}+sqrt{bc}+sqrt{ab}+sqrt{ac}+sqrt{bc})/((sqrta+sqrtb)(sqrtb+sqrtc)(sqrtc+sqrta))`
`=(2(sqrt{ab}+sqrt{bc}+sqrt{ca}))/((sqrta+sqrtb)(sqrtb+sqrtc)(sqrtc+sqrta))`
`=2/((sqrta+sqrtb)(sqrtb+sqrtc)(sqrtc+sqrta))`
`=2/\sqrt{[(sqrta+sqrtb)(sqrtb+sqrtc)(sqrtc+sqrta)]^2}`
`=2/\sqrt{(sqrta+sqrtb)(sqrta+sqrtc)(sqrtb+sqrta)(sqrtb+sqrtc)(sqrtc+sqrta)(sqrtc+sqrtb)}`
`=2/\sqrt{(1+a)(1+b)(1+c)}=>đpcm`
DH
26 tháng 8 2021
a ơi giả thiết là a+b+c=\(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)=2 nhé a
31 tháng 3 2017
Bài 2:
\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}>2\)
Trước hết ta chứng minh \(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\sqrt{a\left(b+c\right)}\le\dfrac{a+b+c}{2}\)\(\Rightarrow1\ge\dfrac{2\sqrt{a\left(b+c\right)}}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\). Ta lại có:
\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b+c}}=\dfrac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\)
Thiết lập các BĐT tương tự:
\(\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}\ge\dfrac{2b}{a+b+c};\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge\dfrac{2c}{a+b+c}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\ge\dfrac{2a}{a+b+c}+\dfrac{2b}{a+b+c}+\dfrac{2c}{a+b+c}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\ge2\)
Dấu "=" không xảy ra nên ta có ĐPCM
Lưu ý: lần sau đăng từng bài 1 thôi nhé !
31 tháng 3 2017
1) Áp dụng liên tiếp bđt \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) với a;b là 2 số dương ta có:
\(\dfrac{1}{2a+b+c}=\dfrac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\dfrac{\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}}{4}\)\(\le\dfrac{\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}}{16}\)
TT: \(\dfrac{1}{a+2b+c}\le\dfrac{\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}}{16}\)
\(\dfrac{1}{a+b+2c}\le\dfrac{\dfrac{2}{c}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}{16}\)
Cộng vế với vế ta được:
\(\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{a+b+2c}\le\dfrac{1}{16}.\left(\dfrac{4}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{4}{c}\right)=1\left(đpcm\right)\)