Giả sử x và y là các số dương có tổng bằng 1. Đặt S=xy+\(\dfrac{1}{xy}\)
a, Tìm giá trị nhỏ nhất của S
b, Biểu thức S có giá trị lớn nhất hay không?Vì sao?
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
16 tháng 11 2018
Áp dụng BĐT Cauchy ta có: \(xy+\frac{1}{xy}\ge2\sqrt{xy\cdot\frac{1}{xy}}=2\)
Vậy \(M\text{inS}=2\) với mọi \(x;y\ge1\)
13 tháng 6 2023
(x+y)^2/x^2+y^2+(x+y)^2/xy>=(x+y)^2/x^2+y^2+xy
Dấu = xảy ra khi (x+y)^2/2xy=x/2y+y/2x+1
=>Min=2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 8 2021
Đặt \(\left(x;2y;3z\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow a+b+c=2\)
\(S=\sqrt{\dfrac{ab}{ab+2c}}+\sqrt{\dfrac{bc}{bc+2a}}+\sqrt{\dfrac{ca}{ca+2b}}\)
\(S=\sqrt{\dfrac{ab}{ab+c\left(a+b+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{bc}{bc+a\left(a+b+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{ca}{ca+b\left(a+b+c\right)}}\)
\(S=\sqrt{\dfrac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{ca}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\)
\(S\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{c}{b+c}\right)=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{2}{3}\Rightarrow x;y;z\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
24 tháng 12 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$S=1+\frac{2xy}{x^2+y^2}+2+\frac{x^2+y^2}{xy}$
$=3+\frac{2xy}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{2xy}+\frac{x^2+y^2}{2xy}$
$\geq 3+2\sqrt{\frac{2xy}{x^2+y^2}.\frac{x^2+y^2}{2xy}}+\frac{2xy}{2xy}$
$=3+2+1=6$
Vậy $S_{\min}=6$ khi $x=y$
\(S=xy+\dfrac{1}{xy}=xy+\dfrac{1}{16xy}+\dfrac{15}{16xy}\)
Mà \(xy+\dfrac{1}{16xy}\ge2\sqrt{\dfrac{xy}{16xy}}=\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{15}{16xy}=\dfrac{15}{16}\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{15}{16}\dfrac{1}{\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}}=\dfrac{15}{4}\)
\(\Rightarrow S\ge\dfrac{1}{2}+\dfrac{15}{4}=\dfrac{17}{4}\) \(\Rightarrow S_{min}=\dfrac{17}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\left\{{}\begin{matrix}xy=\dfrac{1}{16xy}\\x=y\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy=\dfrac{1}{4}\\x=y\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)
À quên mất câu b/, làm xong câu a xong bấm trả lời luôn :D
Do \(\left\{{}\begin{matrix}x>0\\y>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow xy>0\Rightarrow S=xy+\dfrac{1}{xy}>\dfrac{1}{xy}\)
Mà \(\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{15}{4}\) và \(xy>0\Rightarrow\dfrac{1}{xy}< \dfrac{1}{0}=\infty\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{xy}\) chỉ có GTNN, không có GTLN \(\Rightarrow S\) không có GTLN, S sẽ càng dần tới dương vô cực khi một trong 2 giá trị x hoặc y dần tới 0.