Question

[Cỏ dại]

CMR:

Nếu \(a+b+c\) chia hết cho 6 thì \(a^3+b^3+c^3\) cũng chia hết cho 6.

Answer 1

[Pham Van Hung]

       \(a^3+b^3+c^3-\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a^3-a\right)+\left(b^3-b\right)+\left(c^2-c\right)\)

\(=a\left(a^2-1\right)+b\left(b^2-1\right)+c\left(c^2-1\right)\)

\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)+b\left(b-1\right)\left(b+1\right)+c\left(c-1\right)\left(c+1\right)\)(3)

Vì a,b,c là các số nguyên nên \(a\left(a-1\right)\left(a+1\right),b\left(b-1\right)\left(b+1\right),c\left(c-1\right)\left(c+1\right)\)

là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chúng chia hết cho 6

\(\Rightarrow a\left(a-1\right)\left(a+1\right)+b\left(b-1\right)\left(b+1\right)+c\left(c-1\right)\left(c+1\right)⋮6\)(1)

Mà \(a+b+c⋮6\) (2)

Từ (1), (2) và (3) ta được: \(a^3+b^3+c^3⋮6\)