Các bạn ơi giúp mik nhanh nhé đang cần gấp:
Với mọi \(n\inℕ\), chứng minh rằng\(n.\left(n+3\right)\)luôn \(⋮2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KN
1
ND
Nguyễn Đức Trí
VIP
25 tháng 7 2023
\(Q=n^3+\left(n+1\right)^3+\left(n+2\right)^3⋮9\)
\(Q=n^3+n^3+3n^2+3n+1+n^3+6n^2+12n+8\)
\(Q=3n^3+9n^2+15n+9\)
\(Q=3n\left(n^2+5\right)+9\left(n^2+1\right)\)
mà \(\left\{{}\begin{matrix}9\left(n^2+1\right)⋮9\\3n⋮3\\n^2+5⋮3\end{matrix}\right.\left(\forall n\inℕ^∗\right)\)
\(\Rightarrow Q=3n\left(n^2+5\right)+9\left(n^2+1\right)⋮9,\forall n\inℕ^∗\)
\(\Rightarrow dpcm\)
9 tháng 4 2022
Đặt \(n=4k+1\) thì \(P=\dfrac{\left(4k+1\right)\left(4k+2\right)\left(4k+4\right)\left(4k+6\right)}{2}=8\left(4k+1\right)\left(2k+1\right)\left(k+1\right)\left(2k+3\right)\) là số lập phương.
Dẫn đến \(Q=\left(4k+1\right)\left(2k+1\right)\left(k+1\right)\left(2k+3\right)\) là số lập phương.
Lại có \(\left(2k+1,4k+1\right)=1;\left(2k+1,k+1\right)=1;\left(2k+1,2k+3\right)=1\) nên \(\left(2k+1,\left(4k+1\right)\left(k+1\right)\left(2k+3\right)\right)=1\).
Do đó để Q là số lập phương thì \(2k+1\) và \(R=\left(4k+1\right)\left(k+1\right)\left(2k+3\right)\) là số lập phương.
Mặt khác, ta có \(R=8k^3+22k^2+17k+3\)
\(\Rightarrow8k^3+12k^2+6k+1=\left(2k+1\right)^3< R< 8k^3+24k^2+24k+8=\left(2k+2\right)^3\) nên \(R\) không thể là số lập phương.
Vậy...
10 tháng 4 2022
nếu là chính phương thì ntn nha
\(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)\)
đặt \(t=n^2+3n\left(t\in Z^+\right)\)
phương trình thành:
\(t\left(t+2\right)=t^2+2t\)
vì \(t^2< t^2+2t< t^2+2t+1\)
hay \(t^2< t^2+2t< \left(t+1\right)^2\)
=> \(t^2+2t\) không thể là số chính phương
=>\(n\left(n+2\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\) luôn luôn không thể là số chính phương
1 tháng 1 2022
1: \(\Leftrightarrow a^5-a^4b+b^5-ab^4>=0\)
\(\Leftrightarrow a^4\left(a-b\right)-b^4\left(a-b\right)>=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\cdot\left(a+b\right)\cdot\left(a^2+b^2\right)>=0\)(luôn đúng khi a,b dương)
MS
3
26 tháng 3 2020
Đặt
\(A_k=1+2+3+....+k=\frac{k\left(k+1\right)}{2}\)
\(A_{k-1}=1+2+3+....+\left(k-1\right)=\frac{k\left(k-1\right)}{2}\)
Ta có:
\(A_k^2-A_{k-1}^2=\frac{k^2\left(k+1\right)^2}{2}-\frac{\left(k-1\right)^2k^2}{2}=\frac{k^2}{2}\left(k^2+2k+1-k^2+2k-1\right)=k^3\)
Khi đó:
\(1^3=A_1^2\)
\(2^3=A_2^2-A_1^2\)
\(...........\)
\(n^3=A_n^2-A_{n-1}^2\)
Khi đó:
\(1^3+2^3+3^3+...+n^3=A_n^3=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{1^3+2^3+......+n^3}=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)
=> ĐPCM
26 tháng 3 2020
Cách khác:
Ta sẽ đi chứng minh \(1^3+2^3+3^3+....+n^3=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\)
Với n=1 thì mệnh đề trên đúng
Giả sử mệnh đề trên đúng với n=k ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1
Ta có:
\(A_k=1^3+2^3+3^3+.....+k^3=\left[\frac{k\left(k+1\right)}{2}\right]^2\)
Ta cần chứng minh:
\(A_{k+1}=1^3+2^3+3^3+.....+\left(k+1\right)^3=\left[\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\right]^2\)
Thật vậy !
\(A_{k+1}=1^3+2^3+3^3+.....+\left(k+1\right)^3\)
\(=\left[\frac{k\left(k+1\right)}{2}\right]^2+\left(k+1\right)^3\)
\(=\frac{k^2\left(k+1\right)^2}{4}+\left(k+1\right)^3\)
\(=\left(k+1\right)^2\left(\frac{k^2}{4}+k+1\right)\)
\(=\left[\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\right]^2\)
Theo nguyên lý quy nạp ta có điều phải chứng minh.
1 tháng 7 2016
\(A=n^5-n=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\\ \)
- Nếu n chia hết cho 5 thì A chia hết cho 5
- Nếu n chia 5 dư 1 thì (n-1) chia hết cho 5 => A chia hết cho 5
- Nếu n chia 5 dư 2 thì n = 5k +2 => n2 + 1 = 25k2 + 20k + 4 + 1 chia hết cho 5 => A chia hết cho 5
- Nếu n chia 5 dư 3 thì n = 5k +3 => n2 + 1 = 25k2 + 30k + 9 + 1 chia hết cho 5 => A chia hết cho 5
- Nếu n chia 5 dư 4 thì (n+1) chia hết cho 5 => A chia hết cho 5
n thuộc N lớn hơn hoặc bằng 2 chỉ có 5 trường hợp có số dư như trên khi chia cho 5. Nên A chia hết cho 5 với mọi n thuộc N lớn hơn hoặc bằng 2.
Neu n la so chan thi n(n+3) chia het cho 2
Neu n la so le thi n+3 la so chan (vi le +le = chan)
=> n(n+3) chia het cho 2
vay n(n+3) chia het cho 2 voi moi n la stn