\(\text{Cho a , b là các số thực khác 0 . Biết pt}\)\(a\left(a-x\right)^2+b\left(b-x\right)^2=0\)\(\text{có nghiệm duy nhất . CMR: |a| = |b|}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
1 tháng 11 2019
a(a−x)2+b(b−x)2 (1)
=(a+b)x2−2x(a2+b2)+a3+b3
+) a+b=0⇒pt(1)có một nghiệm⇒|a|=|b|
+) a+b≠0
Xét Δ'=a4+2a2b2+b4−a4−ab3−a3b−b4
=2a2b2−ab3−a3b=ab(a−b)2
PT(1) có 1 nghiệm khi và chỉ khi : Δ'=0⇒a−b=0⇒|a|=|b|
1 tháng 11 2019
Thực hiện khai triển , PT đã cho tương đương với
\(\left(a+b\right)x^2-2x\left(a^2+b^2\right)+\left(a^3+b^3\right)=0\left(^∗\right)\)
Nếu \(a+b=0\) thì
\(a^2+b^2\ne0\) với mọi a , b \(\ne0\) . PT (*) có nghiệm duy nhất \(x=\frac{a^3+b^3}{2\left(a^2+b^2\right)}\) ( thỏa mãn yêu cầu )
\(a+b=0\Rightarrow a=-b\Rightarrow\left|a\right|=\left|b\right|\left(1\right)\)
Nếu \(a+b\ne0\)
PT (*) là PT bậc 2 ẩn x có nghiệm duy nhất khi mà
\(\Delta'=\left(a^2+b^2\right)^2-\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow2a^2b^2-ab^3-a^3b=0\)
\(\Leftrightarrow-ab\left(a-b\right)^2=0\)
Vì \(a,b\ne0\Rightarrow ab\ne0\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2=0\Rightarrow a=b\Rightarrow\left|a\right|=\left|b\right|\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ta có đpcm
Chúc bạn học tốt !!!
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 1 2020
Bài 1:
Khai bút đầu năm lấy may :''>
Đặt $x^2+ax+1=t$ thì ta có hệ \(\left\{\begin{matrix} x^2+ax+(1-t)=0(1)\\ t^2+at+1=0(2)\end{matrix}\right.\)
Trước tiên, pt $(2)$ cần có nghiệm.
Điều này xảy ra khi $\Delta_{(2)}=a^2-4\geq 0\Leftrightarrow a\geq 2$ hoặc $a\leq -2$
Để PT ban đầu có nghiệm duy nhất thì PT $(1)$ phải có nghiệm duy nhất. Điều này xảy ra khi $\Delta_{(1)}=a^2-4(1-t)=0$
$\Leftrightarrow 4(1-t)=a^2$. Mà $a^2\geq 4$ nên $1-t\geq 1\Rightarrow t\leq 0$
------------------
Giờ ta xét:
Nếu $a\leq -2$. Kết hợp với $t\leq 0\Rightarrow at\geq -2t$
$\Rightarrow 0=t^2+at+2\geq t^2-2t+1\Leftrightarrow 0\geq (t-1)^2$.
$\Rightarrow t-1=0\Rightarrow t=1$ (vô lý vì $t\leq 0$)
Do đó $a\geq 2$
Tuy nhiên thay $a=2$ vào hệ ta thấy không thỏa mãn. Do đó $a>2$ (đpcm)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 1 2020
Bài 2:
Nếu $a=0\Rightarrow 2b+5c=0\Rightarow c=\frac{-2}{5}b$
PT trở thành: $bx+c=0$
$\Leftrightarrow bx-\frac{2}{5}b=0$ có nghiệm duy nhất $x=\frac{2}{5}$ nếu $b\neq 0$ hoặc vô số nghiệm nếu $b=0$
Tức là với $a=0$ pt luôn có nghiệm.
Nếu $a\neq 0$. PT đã cho là pt bậc hai ẩn $x$
Xét $\Delta=b^2-4ac=b^2-4(-2b-5c)c=b^2+8bc+20c^2=(b+4c)^2+4c^2\geq 0$ với mọi $b,c$ nên PT đã cho luôn có nghiệm.
Vậy........
AH
Akai Haruma
Giáo viên
4 tháng 1 2021
Bài 2.
ĐK: $x\geq \frac{-11}{2}$
$x+\sqrt{2x+11}=0\Leftrightarrow x=-\sqrt{2x+11}$
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 0\\ x^2=2x+11\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 0\\ x^2-2x-11=0(*)\end{matrix}\right.\)
\(\Delta'(*)=12\)
\(\Rightarrow x=1\pm \sqrt{12}=1\pm 2\sqrt{3}\). Với điều kiện của $x$ suy ra $x=1-2\sqrt{3}$
$\Rightarrow a=1; b=-2\Rightarrow ab=-2$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
4 tháng 1 2021
Bài 1.
Đặt $x^2+2x=t$ thì PT ban đầu trở thành:
$t^2-t-m=0(1)$
Để PT ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thì:
Trước tiên PT(1) cần có 2 nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi $\Delta (1)=1+4m>0\Leftrightarrow m> \frac{-1}{4}(*)$
Với mỗi nghiệm $t$ tìm được, thì PT $x^2+2x-t=0(2)$ cần có 2 nghiệm $x$ phân biệt.
Điều này xảy ra khi $\Delta '(2)=1+t>0\Leftrightarrow t>-1$
Vậy ta cần tìm điều kiện của $m$ để (1) có hai nghiệm $t$ phân biệt đều lớn hơn $-1$
Điều này xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} (t_1+1)(t_2+1)>0\\ t_1+t_2+2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t_1t_2+t_1+t_2+1>0\\ t_1+t_2+2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -m+1+1>0\\ 1+2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m< 2(**)\)
Từ $(*); (**)\Rightarrow \frac{-1}{4}< m< 2$
b)
Để pt ban đầu vô nghiệm thì PT(1) vô nghiệm hoặc có 2 nghiệm $t$ đều nhỏ hơn $-1$
PT(1) vô nghiệm khi mà $\Delta (1)=4m+1<0\Leftrightarrow m< \frac{-1}{4}$
Nếu PT(1) có nghiệm thì $t_1+t_2=1>-2$ nên 2 nghiệm $t$ không thể cùng nhỏ hơn $-1$
Vậy PT ban đầu vô nghiệm thì $m< \frac{-1}{4}$
c) Để PT ban đầu có nghiệm duy nhất thì:
\(\left\{\begin{matrix} \Delta (1)=1+4m=0\\ \Delta' (2)=1+t=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m=-\frac{1}{4}\\ t=-1\end{matrix}\right.\).Mà với $m=-\frac{1}{4}$ thì $t=\frac{1}{2}$ nên hệ trên vô lý. Tức là không tồn tại $m$ để PT ban đầu có nghiệm duy nhất.
d)
Ngược lại phần b, $m\geq \frac{-1}{4}$
e)
Để PT ban đầu có nghiệm kép thì PT $(2)$ có nghiệm kép. Điều này xảy ra khi $\Delta' (2)=1+t=0\Leftrightarrow t=-1$
$t=-1\Leftrightarrow m=(-1)^2-(-1)=2$
11 tháng 6 2021
Sai đề.
Tại a=3 thay vào pt ban đầu \(\Rightarrow\left(x^2+3x+1\right)^2+3\left(x^2+3x+1\right)+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+3x+1=\dfrac{-3+\sqrt{5}}{2}\\x^2+3x+1=\dfrac{-3-\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+3x+\dfrac{5-\sqrt{5}}{2}=0\left(1\right)\\x^2+3x+\dfrac{5+\sqrt{5}}{2}=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Bấm máy thấy pt (1) có hai nghiệm, pt (2) vô nghiệm => Tại a=3 thì pt ban đầu có 2 nghiệm (Trái với điều phải cm)
22 tháng 1 2017
Theo đề bài ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow a+b=-\frac{ab}{2}\)
Ta lại có
\(x^2+ax+b=0\) có \(\Delta_1=a^2+4b\)
\(x^2+bx+a=0\) có \(\Delta_2=b^2+4a\)
\(\Rightarrow\Delta_1+\Delta_2=a^2+4b+b^2+4a=a^2+b^2+4\left(a+b\right)\)
\(=a^2+b^2+4\left(\frac{-ab}{2}\right)=a^2+b^2-2ab\)
\(=\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\) Có ít nhất 1 trong hai \(\Delta_1,\Delta_2\) không âm
Vậy ít nhất 1 trong 2 phương trình trên có nghiệm hay phương trình ban đầu luôn có nghiệm
HN
20 tháng 2 2017
2/ \(a\left(x-a\right)^2+b\left(x-b\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)x^2-2\left(a^2+b^2\right)x+a^3+b^3=0\)
Với a = - b thì x = 0
Với a \(\ne\) - b thì ta có
\(\Delta'=\left(a^2+b^2\right)^2-\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow-ab\left(a-b\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a=b\)
Vậy ta có ĐPCM
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 11 2021
Em tham khảo ở đây:
xét các số thực a,b,c (a≠0) sao cho phương trình ax2+bx+c=0 có 2 nghiệm m, n thỏa mãn \(0\le m\le1;0\le m\le1\). tìm GTN... - Hoc24
mk giải tắt thôi, k bt có đúng k nữa
\(a\left(a-x\right)^2+b\left(b-x\right)^2\left(1\right)\)
\(=\left(a+b\right)x^2-2x\left(a^2+b^2\right)+a^3+b^3\)
+) \(a+b=0\Rightarrow pt\left(1\right)\)có một nghiệm\(\Rightarrow|a|=|b|\)
+) \(a+b\ne0\)
Xét \(\Delta'=a^4+2a^2b^2+b^4-a^4-ab^3-a^3b-b^4\)
\(=2a^2b^2-ab^3-a^3b=ab\left(a-b\right)^2\)
PT(1) có 1 nghiệm khi và chỉ khi : \(\Delta'=0\Rightarrow a-b=0\Rightarrow|a|=|b|\)
~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~