K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

25 tháng 8 2019

Ta có \(\frac{a^2}{a+bc}=\frac{a^3}{a^2+abc}=\frac{a^3}{a^2+ab+bc+ac}=\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)

TT
=> \(VT=\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{b^3}{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}+\frac{c^3}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\)

Áp dụng cosi \(\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\ge\frac{3}{4}a\)

Tương tự với các phân thức còn lại 

=> \(VT+\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)\)

=> \(VT\ge\frac{a+b+c}{4}\)(ĐPCM)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=3

9 tháng 7 2017

Lần sau đăng ít 1 thôi đăng nhiều ngại làm, bn đăng nhiều nên tui hướng dẫn sơ qua thôi tự làm đầy đủ vào vở

Bài 1:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a^4+b^4\ge2a^2b^2;b^4+c^4\ge2b^2c^2;c^4+a^4\ge2c^2a^2\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên rồi thu gọn

\(a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)

Áp dụng tiếp BĐT AM-GM

\(a^2b^2+b^2c^2=b^2\left(a^2+c^2\right)\ge2b^2ac\)

Tương tự rồi cộng theo vế có ĐPCM

Bài 2:

Quy đồng  BĐT trên ta có:

\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2b^2}\ge0\) (luôn đúng)

Bài 4: Áp dụng BĐT AM-GM 

\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)

\(\ge\left(a+b\right)\left(2ab-ab\right)=ab\left(a+b\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3}{ab}\ge\frac{ab\left(a+b\right)}{ab}=a+b\)

Tương tự rồi cộng theo vế

Bài 5: sai đề tự nhien có dấu - :v nghĩ là +

9 tháng 7 2017

ai k mình k lại [ chỉ 3 người đầu tiên mà trên 10 điểm hỏi đáp ]

 
NV
24 tháng 2 2020

a/ Biến đổi tương đương:

\(\Leftrightarrow3a^2-3ab+3b^2\ge a^2+ab+b^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

b/ \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=a-\frac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\ge a-\frac{ab\left(a+b\right)}{3\sqrt[3]{a^2.ab.b^2}}=a-\frac{a+b}{3}=\frac{2a}{3}-\frac{b}{3}\)

Tương tự: \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}\ge\frac{2b}{3}-\frac{c}{3}\) ; \(\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge\frac{2c}{3}-\frac{a}{3}\)

Cộng vế với vế ta có đpcm

14 tháng 11 2019

\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2a^2+bc}\le\left(a+b+c\right)^2\)

Ta có: \(\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2a^2+bc}\le\frac{\left(ab+ca\right)^2}{2a^2}+\frac{\left(bc\right)^2}{bc}=\frac{\left(b+c\right)^2}{2}+bc\)

Tương tự rồi cộng lại ta thu được:

\(L.H.S\le\frac{\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2}{2}+ab+bc+ca\)

\(=\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+2\left(ab+bc+ca\right)}{2}+ab+bc+ca\)\(=\left(a+b+c\right)^2\)

P/s: Nhìn đơn giản chứ nó là bao nhiêu ngày suy nghĩ đấy ạ:( Chả biết đúng hay sai nữa:v

18 tháng 2 2020

Bài này dùng AM-GM chắc cũng nhàm rồi nên em đổi kiểu nha.

\(VP-VT=\Sigma_{cyc}\frac{\left(ab+ac-2bc\right)^2+bc\left(b-c\right)^2}{2abc\left(b+c\right)\left(a^2+bc\right)}\ge0\)