K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

25 tháng 9 2018

Ta có:\(\left(ab+bc+ca\right)^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\) (*)

Lại có: \(\left(ab-bc\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2b^2-2ab^2c+b^2c^2\ge0\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2\ge2ab^2c\)

Tương tự \(b^2c^2+c^2a^2\ge2abc^2;c^2a^2+a^2b^2\ge2a^2bc\)

Cộng từng vế của 3 BĐT ta được:\(2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\ge2abc\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\left(a+b+c\right)\) (**) 

Từ (*),(**) \(\Rightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\ge abc\left(a+b+c\right)+2abc\left(a+b+c\right)=3abc\left(a+b+c\right)\)

=>đpcm

28 tháng 3 2022

Ta có (ab + bc + ca)2 = (ab)2 + (bc2) + (ca)2 + 2abc(a + b + c)

Lại có : x2 +y2 + z2 \(\ge\)xy + yz + xz

Thật vậy  x2 +y2 + z2 \(\ge\)xy + yz + xz

<=> 2(x2 +y2 + z2\(\ge\)2(xy + yz + xz)

<=> (x2 - 2xy + y2) + (y2 - 2yz + z2) + (z2 - 2zx + x2\(\ge0\)

<=> (x - y)2 + (z - x)2 + (y - z)2 \(\ge0\) (đúng) => ĐPCM

Áp dụng bài toán => (ab)2 + (bc)2 + (ca)2 \(\ge\)ab.bc + ac.bc + ab.ac = abc(a + b + c) 

Khi đó (ab + bc + ca)2 = (ab)2 + (bc2) + (ca)2 + 2abc(a + b + c) \(\ge\)abc(a + b + c) + 2abc(a + b + c) = 3abc(a + b + c) (đpcm) 

28 tháng 3 2022

Bạn vào thống kê hỏi đáp của mình xem nhé.

9 tháng 6 2017

đăng 2 lần ở 2 web làm gì rồi COPIER lại đào lên nhai lại

10 tháng 6 2017

a, \(a^2+b^2\ge2ab\)

    \(b^2+c^2\ge2bc\)

    \(c^2+a^2\ge ca\)

Cộng các vế => đpcm

b, Áp dung bdt a, ta có thể cm đc \(\left(x+y+z\right)^2\ge3xy+3yz+3zx\)

Thay x,y,z lần lượt bởi ab;bc;ca => ĐPCM

AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 6 2020

Nguyễn Xuân Đình Lực:

mình ghi rõ trên rùi, sắp xếp theo thứ tự luôn cho dễ nhìn kìa bạn:

Cặp 1: $a^3b$ và $abc^2$ tạo ra $a^2bc$

Cặp 2: $b^3c$ và $bca^2$ tạo ra $b^2ca$

Cặp 3: $c^3a$ và $cab^2$ tạo ra $c^2ab$

AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 6 2020

Lời giải:

Ba số thực $a,b,c$ cần có thêm điều kiện không âm mới đúng.

BĐT cần chứng minh tương đương với:

$ab^3+bc^3+ca^3+2abc(a+b+c)\leq a^3b+b^3c+c^3a+ab^3+bc^3+ca^3+abc(a+b+c)$

$\Leftrightarrow abc(a+b+c)\leq a^3b+b^3c+c^3a(*)$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(a^3b+b^3c+c^3a)(abc^2+bca^2+cab^2)\geq (a^2bc+b^2ca+c^2ab)^2$

$\Rightarrow a^3b+b^3c+c^3a\geq abc(a+b+c)$

BĐT $(*)$ đúng nên ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

27 tháng 6 2020

a,b,c>0 

\(VP-VT=a^3b+b^3c+c^3a-abc\left(a+b+c\right)=abc\Sigma\frac{\left(a-b\right)^2}{a}\ge0\)

24 tháng 7 2023

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a^2-bc=x\\b^2-ca=y\\c^2-ab=z\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x+y+z\ge0\)

\(\)Đẳng thức cần c/m trở thành: \(x^3+y^3+z^3\ge3xyz\left(1\right)\)

Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM cho 3 số x,y,z, ta có:

\(x^3+y^3+z^3\ge3\sqrt[3]{x^3.y^3.z^3}=3xyz\)

=> Đẳng thức (1) luôn đúng với mọi x

Dấu = xảy ra khi: x=y=z hay \(a^2-bc=b^2-ca=c^2-ab\)

và \(a^2+b^2+c^2-\left(ab+bc+ca\right)=0\)\(\Rightarrow a=b=c\)

9 tháng 6 2017

\(BDT\Leftrightarrow\left(ab+bc+ac\right)^2\ge3a^2bc+3ab^2c+3abc^2\)

Đặt \(x=ab;y=bc;z=ac\) thì có:

\(\left(x+y+z\right)^2\ge3xy+3yz+3xz\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\) (đúng)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

10 tháng 6 2017

\(\left(ab+ac+bc\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2+2abc\left(a+b+c\right)-3abc\left(a+b+c\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2-a^2bc-ab^2c-abc^2\ge0\)Nhân cả 2 vế cho 2 ta được

\(\Rightarrow2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2-2a^2bc-2ab^2c-2abc^2\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(a^2b^2-2a^2bc+a^2c^2\right)+\left(a^2b^2-2ab^2c+b^2c^2\right)+\left(a^2c^2-2abc^2+b^2c^2\right)\ge0\)\(\Rightarrow\left(ab-ac\right)^2+\left(ab-bc\right)^2+\left(ac-bc\right)^2\ge0\) Đúng với mọi a , b , c

9 tháng 2 2020

Hướng làm nè : 

Giả sử : \(a=min,c=max\)

Thì : \(t=c,k=a\)

Ta đặt : \(b=a+x,c=a+y\left(x\le y\right)\)

Rồi thay vào BĐT cần chứng minh, phá tung ra là được :))

P/s : Mày ra đề làm dài khiếp á !!

9 tháng 2 2020

 ミ★ Đạt ★彡m làm rõ đi:)) Mà tao đoán cách của m phá ra xong m sẽ ko biết nhóm cho thích hợp đâu:P Cái điều kiện \(x\le y\) sẽ gây khó khăn cho m, cách tao khác.