Question

[Vũ Phương Anh]

B1: Cho biểu thức A=\(\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)\left(x^4-x^2+1\right)\)

Chứng minh rằng biểu thức A luôn luôn có giá trị dương với mọi giá trị của biến

B2: Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn luôn có giá trị dương với mọi giá trị của các biến:

a,M= \(25x^2-20x+7\)

b, N= \(9x^2-6xy+2y^2+1\)

B3: Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau luôn luôn âm với mọi giá trijcuar các biến

a, P=\(2x-x^2-2\)

b, Q=\(-x^2-y^2+8x+4y-21\)

Các bạn biết làm bài nào thì giúp mk nha

Answer 1

[Nhiên An Trần]

1, \(A=\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)\left(x^4-x^2+1\right)\)

\(=\left(x^2+2.\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}+1\right)\left(x^2-2.\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}+1\right)\left(x^4-2.\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}+1\right)\)\(=\left[\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\right]\left[\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\right]\left[\left(x^2-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\right]\)

Ta có: \(\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\Rightarrow\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge0\)

\(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\Rightarrow\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge0\)

\(\left(x^2-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\Rightarrow\left(x^2-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge0\)

Từ 3 điều trên \(\Rightarrow\left[\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\right]\left[\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\right]\left[\left(x^2-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\right]\ge0\)Vậy biểu thức A luôn có giá trị dương với mọi giá trị của biến

2,

a, \(M=25x^2-20x+7\)

\(=25x^2-20x+4+3\)

\(=\left(5x-2\right)^2+3\)

Ta có: \(\left(5x-2\right)^2\ge0\forall x\Rightarrow\left(5x-2\right)^2+3\ge0\)

Vậy biểu thức M luôn có giá trị dương với mọi giá trị của biến

b, \(N=9x^2-6xy+2y^2+1\)

\(=9x^2-6xy+y^2+y^2+1\)

\(=\left(3x-y\right)^2+y^2+1\)

Ta có: \(\left(3x-y\right)^2\ge0\forall x,y\)

\(y^2\ge0\Rightarrow y^2+1\ge0\forall y\)

Từ 2 điều trên \(\Rightarrow\left(3x-y\right)^2+y^2+1\ge0\)

Vậy biểu thức N luôn có giá trị dương với mọi giá trị của biến

3,

a, \(P=2x-x^2-2\)

\(=-\left(x^2-2x+2\right)\)

\(=-\left(x^2-2x+1+1\right)\)

\(=-\left(x-1\right)^2-1\)

Ta có: \(\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\Rightarrow-\left(x-1\right)^2\le0\forall x\Rightarrow-\left(x-1\right)^2-1\le0\)

Vậy biểu thức P luôn có giá trị âm với mọi giá trị của biến

b, \(Q=-x^2-y^2+8x+4y-21\)

\(=-\left(x^2-8x+16+y^2-4y+4+1\right)\)

\(=-\left(x-4\right)^2-\left(y-2\right)^2-1\)

Ta có: \(\left(x-4\right)^2\ge0\forall x\Rightarrow-\left(x-4\right)^2\le0\)

\(\left(y-2\right)^2\ge0\forall x\Rightarrow-\left(y-2\right)\le0\)

Từ 2 điều trên \(\Rightarrow-\left(x-4\right)^2-\left(y-2\right)^2\le0\Rightarrow-\left(x-4\right)^2-\left(y-2\right)^2-1\le0\)Vậy biểu thức Q luôn có giá trị âm với mọi giá trị của biến

Answer 2

[Vũ Phương Anh]

Bạn ơi cho mình hỏi bài 1 dòng thứ 2 ý, tại s lại ra vậy?