Cho a,b>0 thõa mãn điều kiện ab=1
CMR: \(\left(a+b+1\right)\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{4}{a+b}\ge8\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HV
1
T
13 tháng 9 2018
Ta có \(\left(a+b+1\right).\left(a^2+b^2\right)+\frac{4}{a+b}\)
\(\ge\left(a+b+1\right).2ab+\frac{4}{a+b}\)
\(=2.\left(a+b\right)+2+\frac{4}{a+b}\)
\(=a+b+2+a+b+\frac{4}{a+b}\)
\(\ge2.\sqrt{a.b}+2+2.\sqrt{\left(a+b\right).\frac{4}{a+b}}=2+2+2\sqrt{4}\)
\(=2+2+4=8\)
Vậy\(\left(a+b+1\right).\left(a^2+b^2\right)+\frac{4}{a+b}\ge8\)với ab=1
10 tháng 8 2017
\(A=\left(a+b+1\right)\left(a^2+b^2\right)+\frac{4}{a+b}\)
\(\Rightarrow A\ge\left(a+b+1\right).2ab+\frac{4}{a+b}=2\left(a+b+1\right)+\frac{4}{a+b}\)
\(\Rightarrow A\ge\left(a+b\right)+\left(a+b\right)+\frac{4}{a+b}+2\)
\(\Rightarrow A\ge2\sqrt{ab}+2\sqrt{\left(a+b\right).\frac{4}{a+b}}+2\)
\(\Rightarrow A\ge2+4+2=8\)
"=" khi \(a=b=1\)
18 tháng 7 2021
\(a+b+c=1=>\left\{{}\begin{matrix}1-a=b+c\\1-b=a+c\\1-c=a+b\\\end{matrix}\right.\)
\(=>A=\left(\dfrac{1}{a}-1\right)\left(\dfrac{1}{b}-1\right)\left(\dfrac{1}{c}-1\right)=\left(\dfrac{1-a}{a}\right)\left(\dfrac{1-b}{b}\right)\left(\dfrac{1-c}{c}\right)\)
\(=\left(\dfrac{b+c}{a}\right)\left(\dfrac{a+c}{b}\right)\left(\dfrac{a+b}{c}\right)\)
bbđt AM-GM
\(=>A\ge\dfrac{2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}.2\sqrt{ab}}{abc}=\dfrac{8abc}{abc}=8\left(đpcm\right)\)
dấu"=" xảy ra<=>\(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 7 2021
Đặt vế trái BĐT cần chứng minh là P
Ta có:
\(P=\left(\dfrac{a+b+c}{a}-1\right)\left(\dfrac{a+b+c}{b}-1\right)\left(\dfrac{a+b+c}{c}-1\right)\)
\(P=\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}\ge\dfrac{2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}}{abc}=8\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
KB
2 tháng 4 2022
Dễ dàng c/m : \(\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}=1\)
Ta có : \(\dfrac{1}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+4}\le\dfrac{1}{a+b+4}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}\right)\)
Suy ra : \(\Sigma\dfrac{1}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+4}\le2.\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}\right)=\dfrac{1}{2}.1=\dfrac{1}{2}\)
" = " \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
VN
1
6 tháng 12 2017
\(\left(a+b\right)^2+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2\)
\(=\left(a+b\right)\left(a+b\right)+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)
\(\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{ab}+2\sqrt{\dfrac{1}{ab}}.2\sqrt{\dfrac{1}{ab}}\)
\(=4ab+\dfrac{4}{ab}\)
\(=4\left(ab+\dfrac{1}{ab}\right)\ge4.2=8\)(\(a;b>0\))
26 tháng 10 2016
Ta có : \(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+1}{a}.\frac{b+1}{b}\ge9\Leftrightarrow ab+a+b+1\ge9ab\) ( vì \(ab>0\) )
\(\Leftrightarrow a+b+1\ge8ab\Leftrightarrow2\ge8ab\) ( vì \(a+b=1\) )
\(\Leftrightarrow1\ge4ab\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\) ( Vì \(a+b=1\) ) \(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(2\right)\)
BĐT ( 2 ) đúng , mà các phép biến đổi trê tương đương , vây BĐT ( 1 ) được chứng minh . Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi \(a=b\)
cần gấp
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2b^2}=2\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=1
Đặt \(M=\left(a+b+1\right)\left(a^2+b^2\right)+\frac{4}{a+b}\)
\(\Rightarrow M\ge\left(a+b+1\right).2=\left(a+b\right)+\left(a+b\right)+2+\frac{4}{a+b}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(M\ge2.\sqrt{ab}+2.\sqrt{\left(a+b\right).\frac{4}{a+b}}+2=2+2.2+2=8\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=1