Cho 3 số thực a,b,c thoả mãn \(\frac{a+b-c}{ab}-\frac{b+c-a}{bc}-\frac{c+a-b}{ac}=0\)
Mong mọi người giúp đỡ ! Tks mọi người ! ^-^
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
9 tháng 12 2016
\(ab+bc+ac=3abc\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\)
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có : \(a^2+1\ge2a\Rightarrow\frac{1}{a^2+1}\le\frac{1}{2a}\)
Tương tự : \(\frac{1}{b^2+1}\le\frac{1}{2b}\) ; \(\frac{1}{c^2+1}\le\frac{1}{2c}\)
Cộng theo vế được :
\(P=\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\le\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Vậy maxP = 3/2 tại a = b = c = 1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 4 2022
\(\left(2+7\right)\left(2a^2+\dfrac{7}{b^2}\right)\ge\left(2a+\dfrac{7}{b}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{2a^2+\dfrac{7}{b^2}}\ge\dfrac{1}{3}\left(2a+\dfrac{7}{b}\right)\)
Tương tự: \(\sqrt{2b^2+\dfrac{7}{c^2}}\ge\dfrac{1}{3}\left(2a+\dfrac{7}{c}\right)\) ; \(\sqrt{2c^2+\dfrac{7}{a^2}}\ge\dfrac{1}{3}\left(2c+\dfrac{7}{a}\right)\)
Cộng vế:
\(VT\ge\dfrac{1}{3}\left(2a+2b+2c+\dfrac{7}{a}+\dfrac{7}{b}+\dfrac{7}{c}\right)=2+\dfrac{7}{3}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
\(VT\ge2+\dfrac{7}{9}.\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\) (do \(a+b+c=3\))
\(VT\ge2+\dfrac{7}{9}.\left(\sqrt{a}.\sqrt{\dfrac{1}{a}}+\sqrt{b}.\sqrt{\dfrac{1}{b}}+\sqrt{c}.\sqrt{\dfrac{1}{c}}\right)^2=9\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
3 tháng 3 2017
chào bạn còn nhớ mình ko bai nay o vong 15 luyen thi phai ko. Bạn phân tích từ số thành nhân tử
B=(a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 -ab-bc-ac)/a^2 +b^2 +c^2 -ab-bc-ac
suy ra B=a+b+c. suy ra B=2016
KN
9 tháng 1 2021
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức, ta được: \(VT=\frac{a^4}{a^2+a^2b-a^3}+\frac{b^4}{b^2+b^2c-b^3}+\frac{c^4}{c^2+c^2a-c^3}\)\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)-\left(a^3+b^3+c^3\right)}\) \(=\frac{1}{1+\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)-\left(a^3+b^3+c^3\right)}\)
Ta cần chứng minh \(\frac{1}{1+\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)-\left(a^3+b^3+c^3\right)}\ge1\)hay \(a^3+b^3+c^3\ge a^2b+b^2c+c^2a\)
Đây là bất đẳng thức quen thuộc có nhiều cách chứng minh:
** Cách 1: Áp dụng AM - GM, ta được: \(a^3+a^3+b^3\ge3a^2b\); \(b^3+b^3+c^3\ge3b^2c\); \(c^3+c^3+a^3\ge3c^2a\)
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên
** Cách 2: Giả sử \(a\le b\le c\)
Có: \(a^3+b^3+c^3=a^2b+b^2c+c^2a+\left(c^2-a^2\right)\left(b-a\right)+\left(c^2-b^2\right)\left(c-b\right)\ge a^2b+b^2c+c^2a\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\).
KN
9 tháng 1 2021
Or the following SOS: 
* Hoặc mạnh hơn với a,b,c thực thỏa mãn \(a+b\ge0,b+c\ge0,c+a\ge0\)
\(a^3+b^3+c^3-a^2b-b^2c-c^2a\)
\(=\frac{\left(a^2+b^2-2c^2\right)^2+3\left(a^2-b^2\right)^2+\Sigma_{cyc}4\left(a+b\right)\left(c+a\right)\left(a-b\right)^2}{8\left(a+b+c\right)}\ge0\)
17 tháng 9 2017
ta có:
\(c+ab=c.1+ab=c\left(a+b+c\right)+ab=ca+cb+c^2+ab=\left(c+a\right)\left(c+b\right)\)
tương tự như vậy thì \(P=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}}+\sqrt{\frac{ca}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\)
áp dụng bđt cô si ta có:
\(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\left(c+a\right)\left(b+c\right)}};\frac{b}{a+b}+\frac{c}{c+a}\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}};\frac{a}{a+b}+\frac{c}{b+c}\ge2\sqrt{\frac{ca}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{c+a}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{b+c}\right)=\frac{3}{2}\left(Q.E.D\right)\)
23 tháng 10 2018
Bài 3:
Ta có:\(|\frac{a}{2}-\frac{b}{3}|+|\frac{b}{4}-\frac{c}{3}|+|a+b+c-58|=0.\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{2}-\frac{b}{3}=0\\\frac{b}{4}-\frac{c}{3}=0\\a+b+c-58=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}\frac{a}{2}=\frac{b}{3}\\\frac{b}{4}=\frac{c}{3}\\a+b+c=58\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{8}=\frac{b}{12}=\frac{c}{9}\\a+b+c=58\end{cases}}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{8+12+9}=\frac{58}{29}=2\)
=> a/8=2 Vậy a=16
=> b/12=2 Vậy b=24
=> c/9=2 Vậy c=18
14 tháng 1 2021
Câu đề HN vừa thi hôm trước, sửa thành tìm max
Áp dụng BĐT Bunyakovsky ta có:
\(\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a+b+b+c+c+a\right)\)
\(=6\left(a+b+c\right)\le6\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)\le\sqrt{6}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1/3
Làm xong mới thấy không giống lắm hihi:D