giả sử \(a,b,c\in\left[1;2\right]\)hãy chứng minh bất đẳng thức sau
\(\frac{1}{4+a-ab}+\frac{1}{4+b-bc}+\frac{1}{4+c-ac}\ge\frac{3}{3+abc}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
4 tháng 6 2023
Mình quên không nói là đề bài yêu cầu chứng minh 2 bổ đề trên.
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
22 tháng 9 2023
a) Ta có \(f\left( {{x_0}} \right) = {x_0} + 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x + 1 = {x_0} + 1\)
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)
Vậy hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0}.\)
b) Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Đồ thị hàm số là một đường thẳng liền mạch với mọi giá trị \(x \in \mathbb{R}.\)
12 tháng 10 2018
Ta c/m bđt
với \(x,y,z\ge1\) thì: \(\frac{x+y}{1+z}+\frac{y+z}{1+x}+\frac{z+x}{1+y}\ge\frac{6\sqrt[3]{xyz}}{1+\sqrt[3]{xyz}}\) (*)
dấu bằng xảy ra khi x=y=z
bđt (*) \(\Leftrightarrow\left(\frac{x+y}{1+z}+1\right)+\left(\frac{y+z}{1+x}+1\right)+\left(\frac{z+x}{1+y}+1\right)\ge\frac{6\sqrt[3]{xyz}}{1+\sqrt[3]{xyz}}+3\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z+1\right)\left(\frac{1}{1+z}+\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\right)\ge\frac{3+9\sqrt[3]{xyz}}{1+\sqrt[3]{xyz}}\)
Ta có: \(1+x+y+z\ge1+3\sqrt[3]{xyz}\)(1)
Với \(x,y\ge1\) ta chứng minh \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\ge\frac{2}{1+\sqrt{xy}}\)(2)
\(\Leftrightarrow\frac{2+\left(x+y\right)}{1+\left(x+y\right)+xy}\ge\frac{2}{1+\sqrt{xy}}\Leftrightarrow2+\left(x+y\right)+2\sqrt{xy}+\sqrt{xy}\left(x+y\right)\ge2+2\left(x+y\right)+2xy\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{xy}\left(1-\sqrt{xy}\right)+\left(x+y\right)\left(\sqrt{xy}-1\right)\ge0\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\left(\sqrt{xy}-1\right)\ge0\)
bđt trên luôn đúng =>DPCM
đợi mình làm vế sau nữa nhé tại máy lag nên làm đk đến đây thôi xíu nữa hoặc mai mik làm vế sau cho nhé
12 tháng 10 2018
Với \(x,y,z\ge1\) ta chứng minh: \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}}\) (3)
\(\Leftrightarrow P=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}+\frac{1}{1+\sqrt[3]{xyz}}\ge\frac{4}{1+\sqrt[3]{xyz}}\)
Áp dụng kết quả (2) ta thu được:
\(P\ge\frac{2}{1+\sqrt{xy}}+\frac{2}{1+\sqrt{z\sqrt[3]{xyz}}}\ge\frac{4}{1+\sqrt[4]{xyz\sqrt[3]{xyz}}}=\frac{4}{1+\sqrt[3]{xyz}}\)
Từ (1) và (3) suy ra (*) đúng
Trở lại bài toán: ta được bđt đã cho tưởng đương với:
\(\frac{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{1+\frac{1}{a}}+\frac{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}}{1+\frac{1}{b}}+\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{1+\frac{1}{c}}\ge\frac{\frac{6}{\sqrt[3]{abc}}}{1+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}}\)
Do x,y,z\(\le1\Rightarrow\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}\ge1\). Áp dụng (*) suy ra điều phải chứng minh dấu bằng xảy ra khi a=b=c
27 tháng 11 2021
1.
Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{a}{a+b};\dfrac{b}{b+c};\dfrac{c}{c+a}\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-x=\dfrac{b}{b+a}\\1-y=\dfrac{c}{b+c}\\1-z=\dfrac{a}{a+c}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow xyz=\dfrac{1}{8}\\ xyz=\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\\ \Rightarrow xyz=1-\left(x+y+z\right)+\left(xy+yz+zx\right)-xyz\\ \Rightarrow2xyz=1-\left(x+y+z\right)+\left(xy+yz+zx\right)=\dfrac{1}{4}\\ \Rightarrow x+y+z=\dfrac{3}{4}+xy+yz+zx\)
\(\RightarrowĐpcm\)
Dấu ''='' xảy ra tại giá trị nào vậy bạn?
\(1\le a,b,c\le2\)
\(\Rightarrow1-a\le0\Rightarrow c\left(1-a\right)\le0\Rightarrow4+c-ca\le4\)
\(\Rightarrow\frac{1}{4+c-ca}\ge\frac{1}{4}\)
CM tương tự \(\Rightarrow\frac{1}{4+a-ab}+\frac{1}{4+b-bc}+\frac{1}{4+c-ca}\ge\frac{3}{4}\)
Ta cần CM \(\frac{3}{4}\ge\frac{3}{3+abc}\)
Thật vậy \(a,b,c\ge1\Rightarrow abc\ge1\)\(\Rightarrow3+abc\ge4\Rightarrow\frac{3}{4}\ge\frac{3}{3+abc}\)
Dấu "="xảy ra khi a=b=c=1