Chứng minh: \(17< \dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+.....+\dfrac{1}{\sqrt{100}}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
YN
10 tháng 2 2023
Ta có:
\(\dfrac{1}{\sqrt{1}}>\dfrac{1}{10}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}>\dfrac{1}{10}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}>\dfrac{1}{10}\)
...
\(\dfrac{1}{\sqrt{100}}=\dfrac{1}{10}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}>100.\dfrac{1}{10}=10\).
GH
17 tháng 6 2023
VT tương đương với \(\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{1}-\sqrt{2}}{1-2}+\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}+...+\dfrac{\sqrt{99}-\sqrt{100}}{99-100}\)
\(=\sqrt{100}-\sqrt{99}+\sqrt{99}-....-\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{2}-\sqrt{1}\) (kiểu do mẫu số nó có kết quả âm nên đảo lại phép)
\(=10-1=9=VP\)
10 tháng 3 2017
Ta có:
\(\dfrac{1}{\sqrt{1}}>\dfrac{1}{\sqrt{100}}=\dfrac{1}{10}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}>\dfrac{1}{\sqrt{100}}=\dfrac{1}{10}\)
\(...............\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{98}}>\dfrac{1}{\sqrt{100}}=\dfrac{1}{10}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{99}}>\dfrac{1}{\sqrt{100}}=\dfrac{1}{10}\)
Cộng theo vế ta có:
\(\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{99}}>\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{10}+...+\dfrac{1}{10}=\dfrac{99}{10}\)
Lại có \(\dfrac{1}{\sqrt{100}}=\dfrac{1}{10}\) suy ra:
\(\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}>\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{10}+...+\dfrac{1}{10}=\dfrac{100}{10}=10\)
1 tháng 10 2017
Ta có:
1/√1>1/√100=1/10
1/√2>1/√100=1/10
........
1/√100=1/√100=1/10
Nên:
1/√1+1/√2+...+1/√100>1/10+1/10+...+1/10(100 phân số 1/10)
=1/√1+1/√2+..+1/√100>100/10
1/√1+1/√2+..+1/√100>10(đpcm)
2 tháng 1 2018
Ta có :
\(\dfrac{1}{\sqrt{1}}>\dfrac{1}{\sqrt{`100}}=\dfrac{1}{10}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}>\dfrac{1}{\sqrt{100}}=\dfrac{1}{10}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}>\dfrac{1}{\sqrt{100}}=\dfrac{1}{10}\)
........................................
\(\dfrac{1}{\sqrt{99}}>\dfrac{1}{\sqrt{100}}=\dfrac{1}{10}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{100}}=\dfrac{1}{\sqrt{100}}=\dfrac{1}{10}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+.......+\dfrac{1}{\sqrt{100}}>\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{10}+........+\dfrac{1}{10}=\dfrac{100}{10}=10\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+......+\dfrac{1}{\sqrt{100}}>10\left(đpcm\right)\)
NN
2 tháng 1 2018
Giải:
Ta thấy:
\(\dfrac{1}{\sqrt{1}}>\dfrac{1}{\sqrt{100}}=\dfrac{1}{10}.\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}>\dfrac{1}{\sqrt{100}}=\dfrac{1}{10}.\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}>\dfrac{1}{\sqrt{100}}=\dfrac{1}{10}.\)
...................................
\(\dfrac{1}{\sqrt{99}}>\dfrac{1}{\sqrt{100}}=\dfrac{1}{10}.\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{100}}=\dfrac{1}{10}.\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}.\)
\(>\dfrac{1}{\sqrt{100}}+\dfrac{1}{\sqrt{100}}+\dfrac{1}{\sqrt{100}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}.\)
\(=\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{10}+...+\dfrac{1}{10}\) (100 số hạng \(\dfrac{1}{10}\)).
\(=\dfrac{100}{10}=10.\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}>10\left(đpcm\right).\)
Vậy..........
2 tháng 4 2017
Ta có:
\(\sqrt{1}< \sqrt{100}\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{1}}>\dfrac{1}{\sqrt{100}}\)
\(\sqrt{2}< \sqrt{100}\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{2}}>\dfrac{1}{\sqrt{100}}\)
\(\sqrt{3}< \sqrt{100}\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{3}}>\dfrac{1}{\sqrt{100}}\)
\(.............................\)
\(\sqrt{99}< \sqrt{100}\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{99}}>\dfrac{1}{\sqrt{100}}\)
\(\sqrt{100}=\sqrt{100}\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{100}}=\dfrac{1}{\sqrt{100}}\)
Cộng từng vế của các BĐT trên ta được:
\(\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}>\dfrac{1}{\sqrt{100}}+\dfrac{1}{\sqrt{100}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}\)
\(=\dfrac{100}{\sqrt{100}}=\dfrac{100}{10}=10\)
Vậy \(\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}>10\) (Đpcm)
Lời giải:
Ta thấy:
\(\frac{1}{2}\text{VP}=\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2\sqrt{100}}\)
\(> \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{101}}\)
Mà:
\(\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{101}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{(\sqrt{3}+\sqrt{4})(\sqrt{4}-\sqrt{3)}}+...+\frac{\sqrt{101}-\sqrt{100}}{(\sqrt{100}+\sqrt{101})(\sqrt{101}-\sqrt{100})}\)
\(=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{4-3}+...+\frac{\sqrt{101}-\sqrt{100}}{101-100}\)
\(=\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+...+\sqrt{101}-\sqrt{100}\)
\(=\sqrt{101}-\sqrt{2}\)
Do đó: \(\frac{1}{2}\text{VP}> \sqrt{101}-\sqrt{2}\Rightarrow \text{VP}>2(\sqrt{101}-\sqrt{2})> 17\) (đpcm)