Chứng minh rằng
a) \(x^2+4x+5>0\forall x\)
b)\(x^2-x+1>0\forall x\)
c)\(12x-4x^2-10< -1\forall x\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
1
Y
16 tháng 8 2018
a) Ta có:
\(x^2+4x+5\)
\(=x^2+2.x.2+4+1\)
\(=\left(x+2\right)^2+1\)
Vì \(\left(x+2\right)^2\ge0\forall x\)
\(\Rightarrow\left(x+2\right)^2+1>0\forall x\)
\(\Rightarrow x^2+4x+5>0\forall x\)
b) Ta có:
\(x^2-x+1\)
\(=x^2-2.x.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}+1\)
\(=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\)
Vì \(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\)
\(\Rightarrow\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\forall x\)
\(\Rightarrow x^2-x+1>0\forall x\)
c) Ta có:
\(12x-4x^2-10\)
\(=-\left(4x^2-12x+10\right)\)
\(=-\left[\left(2x\right)^2-2.2x.3+9+1\right]\)
\(=-\left(2x-3\right)^2-1\)
Vì \(-\left(2x-3\right)^2\le0\forall x\)
\(\Rightarrow-\left(2x-3\right)^2-1< 0\forall x\)
\(\Rightarrow12x-4x^2-10< -1\)
27 tháng 9 2021
a: Ta có: \(x^2-8x+20\)
\(=x^2-8x+16+4\)
\(=\left(x-4\right)^2+4>0\forall x\)
b: Ta có: \(-x^2+6x-19\)
\(=-\left(x^2-6x+19\right)\)
\(=-\left(x^2-6x+9+10\right)\)
\(=-\left(x-3\right)^2-10< 0\forall x\)
BN
8 tháng 7 2018
1/
a, \(x^2-6x+10=x^2-6x+9+1=\left(x-3\right)^2+1\ge1>0\)
b,\(4x-x^2-5=-\left(x^2-4x+4\right)-1=-\left(x-2\right)^2-1\le-1< 0\)
2/
a, \(P=x^2-2x+5=x^2-2x+1+4=\left(x-1\right)^2+4\ge4\)
Dấu "=" xảy ra khi x-1=0 <=> x=1
Vậy Pmax = 4 khi x = 1
b, \(M=x^2+y^2-x+6y+10=\left(x^2-x+\dfrac{1}{4}\right)^2+\left(y^2+6y+9\right)+\dfrac{3}{4}=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y+3\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x-\dfrac{1}{2}=0\\y+3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{2}\\y=-3\end{matrix}\right.\)
Vậy Mmax = 3/4 khi x = 1/2, y = -3
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
23 tháng 9 2023
Phủ định của mệnh đề A là mệnh đề “\(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} + 4x + 5 = 0\)”
Phủ định của mệnh đề B là mệnh đề “\(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} + x < 1\)”
Phủ định của mệnh đề C là mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{Z},2{x^2} + 3x - 2 \ne 0\)”
Phủ định của mệnh đề D là mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{Z},{x^2} \ge x\)”
8 tháng 7 2022
a: \(x^2+x+1=x^2+x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\)
b: \(x-2\cdot\sqrt{x}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\)
c: \(=x^2-2\cdot x\cdot\dfrac{1}{2}y+\dfrac{1}{4}y^2+\dfrac{3}{4}y^2=\left(x-\dfrac{1}{2}y\right)^2+\dfrac{3}{4}y^2>0\forall x,y\ne0\)
DN
19 tháng 8 2018
1. a,\(A=x^2-2x+5=x^2-2.x.1+1^2-1+5\)
\(=\left(x-1\right)^2+4\)
Do \(\left(x-1\right)^2\ge0\) với \(\forall x\) \((\)dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=1)\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2+4\ge4\) hay \(A\ge4\) \((\) dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=1)\)
Vậy Min A=4 tại x=1
b,\(B=2x^2-6x=2\left(x^2-3x\right)\)
\(=2.\left(x^2-2.x.\dfrac{3}{2}+\dfrac{9}{4}-\dfrac{9}{4}\right)\)
\(=2.\left[\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4}\right]\)
\(=2.\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{9}{2}\)
Do \(2.\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2\ge0\) với mọi x (dấu "=" xảy ra <=> x=\(\dfrac{3}{2}\))
\(\Rightarrow2.\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{9}{2}\ge-\dfrac{9}{2}\) hay \(B\ge-\dfrac{9}{2}\)
(dấu "=" xảy ra <=> x=\(\dfrac{3}{2}\))
Vậy Min B = \(-\dfrac{9}{2}\) tại x=\(\dfrac{3}{2}\)
Bài 2
a,\(A=6x-x^2+3=-\left(x^2-6x-3\right)\)
\(=-\left(x^2-2.x.3+3^2-9-3\right)\)
\(=-\left[\left(x-3\right)^2-12\right]\)
\(=-\left(x-3\right)^2+12\)
Do \(-\left(x-3\right)^2\le0\) với mọi x (dấu "=" xảy ra <=> x=3)
\(\Rightarrow-\left(x-3\right)^2+12\le12\) hay \(A\le12\) (dấu "=" xảy ra <=> x=3)
Vậy Max A =12 tại x=3
b,\(B=x-x^2+2=-\left(x^2-x-2\right)\)
\(=-\left[x^2-2.x.\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}-2\right]\)
\(=-\left[\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4}\right]\)
\(=-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{9}{4}\)
Do \(-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\le0\) với mọi x (dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\))
\(\Rightarrow\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{9}{4}\le\dfrac{9}{4}\) hay \(B\le\dfrac{9}{4}\) (dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\))
Vậy Max B=\(\dfrac{9}{4}\) tại x=\(\dfrac{1}{2}\)
c,\(C=5x-x^2-5=-\left(x^2-5x+5\right)\)
\(=-\left[x^2-2.x.\dfrac{5}{2}+\left(\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{25}{4}+5\right]\)
\(=-\left[\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{5}{4}\right]\)
\(=-\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{5}{4}\)
Do \(-\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2\le0\) với mọi x (dấu "=" xảy ra <=> x=\(\dfrac{5}{2}\))
\(\Rightarrow-\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{5}{4}\le\dfrac{5}{4}\) hay \(C\le\dfrac{5}{4}\) (dấu ''='' xảy ra <=> x=\(\dfrac{5}{2}\))
Vậy Max C=\(\dfrac{5}{4}\) tại x=\(\dfrac{5}{2}\)
Y
19 tháng 8 2018
Mình làm tiếp phần của Dũng Nguyễn nha.
b) \(4x-x^2-5\)
\(=-\left(x^2-4x+5\right)\)
\(=-\left(x^2-2.x.2+4+1\right)\)
\(=-\left(x-2\right)^2-1\)
Vì \(-\left(x-2\right)^2\le0\) với mọi x
\(\Rightarrow-\left(x-2\right)^2-1\le-1\)
\(\Rightarrow-\left(x-2\right)^2-1< 0\) với mọi x
Vậy \(4x-x^2-5< 0\) với mọi x
c) \(x^2-x+1\)
\(=x^2-2x.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}+1\)
\(=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\)
Vì \(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\)
\(\Rightarrow\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\) với mọi x
Vậy \(x^2-x+1>0\) với mọi x
d) \(-x^2+2x-4\)
\(=-\left(x^2-2x+4\right)\)
\(=-\left(x^2-2x+1+3\right)\)
\(=-\left(x-1\right)^2-3\)
Vì \(-\left(x-1\right)^2\le0\) với mọi x
\(\Rightarrow-\left(x-1\right)^2-3\le-3\)
\(\Rightarrow-\left(x-1\right)^2-3< 0\)
Vậy \(-x^2+2x-4< 0\) với mọi x
H
3
H
31 tháng 1 2023
\(x^2+4x+8=x^2+2.2x+4+4=\left(x+2\right)^2+4\\ \left(x+2\right)^2\ge0\forall x\\ =>\left(x+2\right)^2+4>4\left(>0\right)\forall x\\ =>x^2+4x+8>0\left(\forall x\right)\)
NT
Nguyễn thành Đạt
CTVHS
31 tháng 1 2023
\(Ta\) \(có:\) \(x^2+4x+8\)
\(=x^2+4x+4+4\)
\(=\left(x+2\right)^2+4\)
\(mà:\) \(\left(x+2\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x+2\right)^2+4>0\) \(hay\) \(x^2+4x+8>0\) với mọi x
NT
2
2 tháng 1 2018
\(B=4x^2+y^2+12x-4xy-6y+16\)
\(=\left(4x^2+y^2+9-4xy-6y+12x\right)+7\)
\(=\left[\left(2x\right)^2+y^2+3^2-2.2x.y-2.y.3+2.2x.3\right]+7\)
\(=\left(2x-y+3\right)^2+7\)
Ta có :
\(\left(2x-y+3\right)^2\ge0\forall x,y\)
\(\Rightarrow\left(2x-y+3\right)^2+7\ge7>0\forall x,y\)
Hay B > 0 với mọi x,y
3 tháng 1 2018
Ta có : \(B=\left(2x\right)^2-2.2x\left(y-3\right)+\left(y-3\right)^2-\left(y-3\right)^2+y^2-6y+16\)
\(=\left(2x-y+3\right)^2-y^2+6y-9+y^2-6y+16\)
\(=\left(2x-y+3\right)^2+7\)
Vì \(\left(2x-y+3\right)^2\ge0\forall x,y\Rightarrow B\ge7\)
hay B > 0 với mọi x,y
24 tháng 6 2017
a) \(x^2+x+2=\left(x^2+x+\frac{1}{4}\right)+\frac{7}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\ge\frac{7}{4}>0\)đúng \(\forall x\in R\)
b) \(x^2-4x+10=\left(x^2-4x+4\right)+6=\left(x-2\right)^2+6\ge6>0\)đúng \(\forall x\in R\)
c) \(x\left(x-4\right)+10=x^2-4x+10\)(giải như câu b)
d) \(x\left(2-x\right)-4=-\left(x^2-2x+1\right)-3=-\left(x-1\right)^2-3\le-3< 0\)đúng \(\forall x\in R\)
e) \(x^2-5x+2017=\left(x^2-5x+\frac{25}{4}\right)+\frac{8043}{4}=\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{8043}{4}\ge\frac{8043}{4}>0\)đúng \(\forall x\in R\)
a ) \(x^2+4x+5=x^2+2.x.2+2^2+1=\left(x+2\right)^2+1\)
\(Do\left(x+2\right)^2\ge0\Rightarrow\left(x+2\right)^2+1\ge1>0\forall x\left(đpcm\right)\)
b) \(x^2-x+1=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)
\(Do\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\Rightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}>0\forall x\left(đpcm\right)\)
c)\(-\left(4x^2-12x+9\right)-1=-\left(2x-3\right)^2-1\)
\(Do-\left(2x-3\right)\le0\Rightarrow-\left(2x-3\right)-1\le-1\forall x\)
\(x^2+2.x.2+2^2+5-4\) \(\Rightarrow\left(x+2\right)^2+5-4\) \(\Rightarrow\left(x+2\right)^2+1\)
vì \(\left(x+2\right)^2\ge0\) \(\Rightarrow\left(x+2\right)^2+1\ge1\) \(\ge0\) \(\Rightarrow dpcm\)
b) \(x^2-2.x.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2+1-\left(\frac{1}{2}\right)^2\) \(\Rightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{5}{4}\)
vì \(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\) \(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{5}{4}\ge\frac{5}{4}\ge0\) \(\Rightarrow dpcm\)
c) \(12x-4x^2-10=-\left(4x^2-12x+10\right)\) = \(\left[\left(2x\right)^2-2.2x.3+3^2\right]+10-3^2\)
\(\Rightarrow\left(2x-3\right)^2+10-9\) \(\Rightarrow\left(2x-3\right)^2+1\) vì \(\left(2x-3\right)^2\ge0\Rightarrow\left(2x-3\right)^2+1\ge1hay\ge0\left(1>0\right)\Rightarrow dpcm\)