Question

[Kudo]

Bài 73:

Cho a,b,c là các số thực ko âm thỏa mãn:

   \(a^2+b^2+c^2+abc=4\)

CMR:  \(ab+bc+ca\le abc+2\)

Answer 1

[zZz Cool Kid_new zZz]

Không hiểu sao BĐT dạo này được cập nhật lên khá nhiều,thôi thì làm theo bản năng vậy :))

Do \(a^2+b^2+c^2+abc=4\) nên ta đặt được ẩn phụ dưới dạng 

\(a=\frac{2x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}};b=\frac{2y}{\sqrt{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}};c=\frac{2z}{\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\)

Khi đó BĐT cần chứng minh tương đương với:

\(\Sigma\frac{2xy}{\left(x+y\right)\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\le\frac{4xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}+1\)

Theo AM - GM  thì ta dễ dàng có:

\(\frac{2xy}{\left(x+y\right)\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\le\frac{xy}{x+y}\left(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\right)\)

\(\Rightarrow LHS\le\Sigma\frac{xy}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\Sigma\frac{xy}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\)

\(=\Sigma\frac{xy}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\Sigma\frac{zx}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)

\(=\Sigma\frac{x\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}=1+\frac{4xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)

BĐT được chứng minh

Answer 2

[zZz Cool Kid_new zZz]

Cách khác :)))

Theo nguyên lý Dirichlet thì trong 3 số \(a-1;b-1;c-1\) có ít nhất 2 số cùng dấu

Giả sử đó là \(a-1;b-1\)

Khi đó:\(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Leftrightarrow ab+1\ge a+b\Leftrightarrow abc+c\ge ac+bc\)

Vì vậy \(ab+bc+ca-abc\le ab+bc+ca+c-ac-bc=ab+c\)

Ta sẽ chứng minh \(ab+c\le2\)

Thật vậy !

\(4=a^2+b^2+c^2+abc\ge2ab+c^2+abc\Leftrightarrow4-c^2\ge ab\left(c+2\right)\)

\(\Leftrightarrow ab+c\le2\left(đpcm\right)\)