Cho tam giác ABC cân tại A, có đường cao AD. Từ B kẻ \(DE\perp AB\), \(DF\perp AC\). Trên tia đối của tia DE lấy điểm M sao cho DE=DM. Chứng minh:
a, BE=CF
b, AD là đường trung trực của đoạn thẳng EF
c, Tam giác EFM là tam giác vuông
d, BE // CM
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
15 tháng 2 2020
a) Vì ΔABCΔABC cân tại A => Bˆ=CˆB^=C^
mà AD là đường cao
=> AD là đường trung tuyến ΔABCΔABC
=> BD = DC
Xét ΔBEDΔBED và ΔCFDΔCFD có:
BEDˆ=CFDˆ(900)BED^=CFD^(900)
BD = DC (cmt)
Bˆ=Cˆ(cmt)B^=C^(cmt)
Do đó: ΔBED=ΔCFD(ch−gn)ΔBED=ΔCFD(ch−gn)
=> BE = CF (hai cạnh tương ứng)
b) Vì ΔBED=ΔCFD(cmt)ΔBED=ΔCFD(cmt)
=> ED = DF (hai cạnh tương ứng)
=> ΔEDFΔEDF cân tại D
=> D ∈∈ đường trung trực cạnh EF (1)
Xét ΔAEDΔAED và ΔAFDΔAFD có:
AD (chung)
AEDˆ=AFDˆ(=900)AED^=AFD^(=900)
ED = DF (cmt)
Do đó: ΔAED=ΔAFDΔAED=ΔAFD (cạnh huyền- cạnh góc vuông)
=> AE = AF(hai cạnh tương ứng)
=> ΔAEFΔAEF cân tại A
=> A ∈∈ đường trung trực cạnh EF (2)
(1); (2) => AD là đường trung trực cạnh EF
c) ta có: AD ⊥⊥ BC và AD⊥EFAD⊥EF
=> BC // EF
Gọi giao điểm của FM và DC là H ta có:
Xét ΔBEDΔBED và ΔCMDΔCMD có:
ED = DM (gt)
EDBˆ=CDMˆEDB^=CDM^ (đối đỉnh)
BD = DC (cmt)
Do đó: ΔBED=ΔCMDΔBED=ΔCMD (c-g-c)
mà ΔBED=ΔCFDΔBED=ΔCFD
=> ΔCMD=ΔCFDΔCMD=ΔCFD
=> CF = CM (hai cạnh tương ứng)
=> ΔFCMΔFCM cân tại C
=> C ∈∈đường trung trực cạnh FM (1)
DE = DF (cmt)
mà DE = DM
=> DF = DM
=> ΔFDMΔFDM cân tại D
=> D ∈∈ đường trung trực cạnh FM (2)
(1); (2) => DC là đường trung trực cạnh FM
=> DH ⊥⊥ FM
mà BC // EF
=> EF ⊥⊥ FH
=> EFMˆ=900EFM^=900 hay ΔEFMΔEFM vuông tại F
d) Vì ΔBED=ΔCMDΔBED=ΔCMD
=> BEDˆ=CMDˆ=900BED^=CMD^=900(hai góc tương ứng)
=> BE//CM(so le trong)
15 tháng 7 2019
Hình tự vẽ
a ) Tam giác ABC cân tại A có đường cao AD => AD cũng là đường p/g
=> \(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\)
Do DE \(\perp\)AB => \(\widehat{DEA}=90^o\) => Tam giác AED vuông
Do DF \(\perp\)AC => \(\widehat{DFA}=90^o\) => Tam giác AFD vuông
Xét hai tam giác vuông : \(\Delta AED\)và \(\Delta AFD\)có :
AD là cạnh huyền chung
\(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\)( cmt )
nên tam giác AED = tam giác AFD ( cạnh huyền - góc nhọn )
=> AE = AF
Ta có :
AE + BE = AB
AF + CF = AC
mà AE = AF , AB = AC ( do tam giác ABC cân tại A )
=> BE = CF
b ) Gọi I là giao điểm của EF và AD
Xét \(\Delta AIE\)và \(\Delta AIF\)có :
AE = AF ( cm phần a )
\(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\)( cm phần a )
AI là cạnh chung
=> \(\Delta AIE=\Delta AIF\)( c.g.c )
=> IE = IF (1 )
và \(\widehat{AIE}=\widehat{AIF}\)
Ta có :
\(\widehat{AIE}+\widehat{AIF}=180^o\)( Hai góc kề bù )
\(\widehat{AIE}+\widehat{AIE}=180^o\)
\(\widehat{AIE}.2=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{AIE}=\frac{180^o}{2}=90^o\)
=> \(\widehat{AIE}=\widehat{AIF}=90^o\) ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) => AD là đường trung trực của EF
15 tháng 2 2020
a) Vì ΔABCΔABC cân tại A => Bˆ=CˆB^=C^
mà AD là đường cao
=> AD là đường trung tuyến ΔABCΔABC
=> BD = DC
Xét ΔBEDΔBED và ΔCFDΔCFD có:
BEDˆ=CFDˆ(900)BED^=CFD^(900)
BD = DC (cmt)
Bˆ=Cˆ(cmt)B^=C^(cmt)
Do đó: ΔBED=ΔCFD(ch−gn)ΔBED=ΔCFD(ch−gn)
=> BE = CF (hai cạnh tương ứng)
b) Vì ΔBED=ΔCFD(cmt)ΔBED=ΔCFD(cmt)
=> ED = DF (hai cạnh tương ứng)
=> ΔEDFΔEDF cân tại D
=> D ∈∈ đường trung trực cạnh EF (1)
Xét ΔAEDΔAED và ΔAFDΔAFD có:
AD (chung)
AEDˆ=AFDˆ(=900)AED^=AFD^(=900)
ED = DF (cmt)
Do đó: ΔAED=ΔAFDΔAED=ΔAFD (cạnh huyền- cạnh góc vuông)
=> AE = AF(hai cạnh tương ứng)
=> ΔAEFΔAEF cân tại A
=> A ∈∈ đường trung trực cạnh EF (2)
(1); (2) => AD là đường trung trực cạnh EF
c) ta có: AD ⊥⊥ BC và AD⊥EFAD⊥EF
=> BC // EF
Gọi giao điểm của FM và DC là H ta có:
Xét ΔBEDΔBED và ΔCMDΔCMD có:
ED = DM (gt)
EDBˆ=CDMˆEDB^=CDM^ (đối đỉnh)
BD = DC (cmt)
Do đó: ΔBED=ΔCMDΔBED=ΔCMD (c-g-c)
mà ΔBED=ΔCFDΔBED=ΔCFD
=> ΔCMD=ΔCFDΔCMD=ΔCFD
=> CF = CM (hai cạnh tương ứng)
=> ΔFCMΔFCM cân tại C
=> C ∈∈đường trung trực cạnh FM (1)
DE = DF (cmt)
mà DE = DM
=> DF = DM
=> ΔFDMΔFDM cân tại D
=> D ∈∈ đường trung trực cạnh FM (2)
(1); (2) => DC là đường trung trực cạnh FM
=> DH ⊥⊥ FM
mà BC // EF
=> EF ⊥⊥ FH
=> EFMˆ=900EFM^=900 hay ΔEFMΔEFM vuông tại F
d) Vì ΔBED=ΔCMDΔBED=ΔCMD
=> BEDˆ=CMDˆ=900BED^=CMD^=900(hai góc tương ứng)
=> BE//CM(so le trong)
TG
13 tháng 8 2020
a) Tam giác ABC cân tại A có: AD là đường cao
=> AD là đường trung tuyến của tam giacs ABC
=> D là trung điểm của BC
=> BD = CD
Xét 2 tam giác vuông ΔEBD và ΔFCD ta có:
Cạnh huyền BD = CD (cmt)
\(\widehat{EBD}=\widehat{FCD}\left(GT\right)\)
=> ΔEBD = ΔFCD (c.h - g.n)
=> BE = CF (2 cạnh tương ứng)
b/ Tam giác ABC cân tại A có: AD là đường cao
=> AD là phân giác của góc BAC
Hay: AD là phân giác của góc EAF
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}AE+BE=AB\\AF+CF=AC\end{matrix}\right.\)
Mà: \(\left\{{}\begin{matrix}BE=CF\left(cmt\right)\\AB=AC\left(GT\right)\end{matrix}\right.\)
=> AE = AF
=> Tam giác AEF cân tại A
Lại có: AD là phân giác của góc EAF (cmt)
=> AD là trung trực của tam giác AEF
Hay: AD là trung trực của EF
c/ Có: AD là trung trực của EF (cmt)
=> AD ⊥ EF (3)
Có: ΔEBD = ΔFCD (cmt)
=> ED = DF (2 cạnh tương ứng)
Lại có: ED = DM (GT)
=> DM = DF
=> Tam giác DMF cân tại D (1)
Có: ΔEBD = ΔFCD (cmt)
\(\Rightarrow\widehat{EDB}=\widehat{FDC}\) (2 góc tương ứng)
Mà: \(\widehat{EDB}=\widehat{CDM}\left(đối-đỉnh\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{CDM}=\widehat{FDC}\)
=> DC là phân giác của góc FDM (2)
Từ (1) và (2) => DC là đường cao của ΔFDM
=> DC ⊥ FM
Hay: BC ⊥ FM
Lại có: AD ⊥ BC
=> FM // AD (4)
Từ (3) và (4) => FM ⊥ EF
Hay: \(\widehat{EFM}=90^0\)
=> Tam giác EFM vuông tại F
d/ Xét ΔEBD và ΔMCD ta có:
ED = MD (GT)
\(\widehat{EDB}=\widehat{CDM}\left(đối-đỉnh\right)\)
BD = CD (GT)
=> ΔEBD = ΔMCD (c - g - c)
\(\Rightarrow\widehat{BAE}=\widehat{DMC}\) (2 góc tương ứng)
Mà 2 góc này lai là 2 góc so le trong
=> BE // CM
TG
13 tháng 8 2020
vui lòng ko copy mạng nhé bn !
P/s: Câu trl của bn sẽ đc xóa khi bn rep lại!
LM
20 tháng 8 2017
1, Do AD là đường cao của tam giác ABC cân tại A nên AD cũng đồng thời là trung tuyến của tam giác ABC
=> BD = DC
Mặt khác: gBDE = 180độ - gBED - gDBE = 90độ - gBED
gFDC = 180độ - gDFC - gFCD = 90độ - gFCD
Mà: gBED = gFCD(t/g ABC cân tại A) => gBDE = gFDC
Xét t/g EDB và t/g FDC có:
Góc EBD = Góc FCD(t/g ABC cân tại A); BD = DC(chứng minh trên); Góc BDE = Góc FDC(chứng minh trên)
=> t/g EDB = t/g FDC(g-c-g)
=> BE = CF(2 canhm tương ứng)
P/s: 'g' là viết tắt của góc. VD: gBDE là góc BDE
't/g' là viết tắt của tam giác
LM
20 tháng 8 2017
b) Hình như câu a) nhưng bạn cần nối thêm E lại với F và gọi giao của AD và EF là O(mình không vẽ lại nữa nha)
Do: t/g ABC cận tại A nên: gABC = gACB = (180độ - gBAC) : 2 (1) và AB = AC(2)
Mà: Theo câu a) thì BE = CF và từ (2) nên AB - BE = AC - CF hay AE = AF
=> t/g AEF cân tại A => gAEF = gAFE = (180độ - gBAC) : 2 (3)
Từ (1) và (3) ta được: gABC = gAEF => FE // BC(2 cặp đồng vị bằng nhau)
Mà: AD vuông góc với BC => AD vuông góc với EF (tại O) (*1)
Mặt khác: Ad là đường cao của t/g ABC cân tại A nen AD cũng là phân giác gBAC => gEAO = gFAO
Xét t/g AOE và t/g AOF có: AO chung; gEAO = gFAO(chứng minh trên); AE = AF(c/m trên)
=> t/g AOE = t/g AOF(c-g-c)
=> OE = OF(2 cạnh tương ứng) => O là trung điểm của EF mà O thuộc AD => AD đi qua trung điểm O của EF (*2)
Từ (*1) và (*2) ta được: AD là trung trực của EF
1 tháng 7 2017
a) Vì \(\Delta ABC\) cân tại A => \(\widehat{B}=\widehat{C}\)
mà AD là đường cao
=> AD là đường trung tuyến \(\Delta ABC\)
=> BD = DC
Xét \(\Delta BED\) và \(\Delta CFD\) có:
\(\widehat{BED}=\widehat{CFD}\left(90^0\right)\)
BD = DC (cmt)
\(\widehat{B}=\widehat{C}\left(cmt\right)\)
Do đó: \(\Delta BED=\Delta CFD\left(ch-gn\right)\)
=> BE = CF (hai cạnh tương ứng)
b) Vì \(\Delta BED=\Delta CFD\left(cmt\right)\)
=> ED = DF (hai cạnh tương ứng)
=> \(\Delta EDF\) cân tại D
=> D \(\in\) đường trung trực cạnh EF (1)
Xét \(\Delta AED\) và \(\Delta AFD\) có:
AD (chung)
\(\widehat{AED}=\widehat{AFD}\left(=90^0\right)\)
ED = DF (cmt)
Do đó: \(\Delta AED=\Delta AFD\) (cạnh huyền- cạnh góc vuông)
=> AE = AF(hai cạnh tương ứng)
=> \(\Delta AEF\) cân tại A
=> A \(\in\) đường trung trực cạnh EF (2)
(1); (2) => AD là đường trung trực cạnh EF
c) ta có: AD \(\perp\) BC và \(AD\perp EF\)
=> BC // EF
Gọi giao điểm của FM và DC là H ta có:
Xét \(\Delta BED\) và \(\Delta CMD\) có:
ED = DM (gt)
\(\widehat{EDB}=\widehat{CDM}\) (đối đỉnh)
BD = DC (cmt)
Do đó: \(\Delta BED=\Delta CMD\) (c-g-c)
mà \(\Delta BED=\Delta CFD\)
=> \(\Delta CMD=\Delta CFD\)
=> CF = CM (hai cạnh tương ứng)
=> \(\Delta FCM\) cân tại C
=> C \(\in\)đường trung trực cạnh FM (1)
DE = DF (cmt)
mà DE = DM
=> DF = DM
=> \(\Delta FDM\) cân tại D
=> D \(\in\) đường trung trực cạnh FM (2)
(1); (2) => DC là đường trung trực cạnh FM
=> DH \(\perp\) FM
mà BC // EF
=> EF \(\perp\) FH
=> \(\widehat{EFM}=90^0\) hay \(\Delta EFM\) vuông tại F
d) Vì \(\Delta BED=\Delta CMD\)
=> \(\widehat{BED}=\widehat{CMD}=90^0\)(hai góc tương ứng)
=> BE//CM(so le trong)
a: Xét ΔBED vuông tại E và ΔCFD vuông tại F có
DB=DC
góc B=góc C
DO đó: ΔBED=ΔCFD
Suy ra: BE=CF
b: Xét ΔAED vuông tại E và ΔAFD vuông tại F có
AD chung
góc EAD=góc FAD
Do đó: ΔAED=ΔAFD
Suy ra: AE=AF và DE=DF
=>AD là đường trung trực của EF
c: Xét ΔEFM có
FD là đuòng trung tuyến
FD=EM/2
Do đó: ΔFEM vuông tại F