Cho m=ab(a+b-c)+bc(b+c-a)+ca(c+a-b). CMR a+b+c\(⋮\)12 thì M\(⋮\)12
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NB
Cho ba số dương a,b,c thoả mãn:a+b+c=12.CMR:
\(\frac{ab}{c+12}+\frac{ac}{b+12}+\frac{bc}{a+12}\le3\)
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 10 2019
\(P=\sum\frac{ab}{c+a+b+c}=\sum\frac{ab}{a+c+b+c}\le\frac{1}{4}\sum\left(\frac{ab}{a+b}+\frac{ab}{b+c}\right)\)
\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{ac+bc}{a+b}+\frac{ac+ab}{b+c}+\frac{bc+ab}{a+c}\right)=\frac{12}{4}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=4\)
VT
30 tháng 6 2018
Ta có A=\(\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-abc\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
=\(2\left(a+b+c\right)+\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}-\frac{ab}{c}-\frac{bc}{a}-\frac{ca}{b}=2\left(a+b+c\right)\)
VT
30 tháng 6 2018
\(A=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+3ab\left[\left(a+b\right)^2-2ab\right]+6a^2b^2=a^2-ab+b^2+3ab\left(1-2ab\right)+6a^2b^2\)
=\(\left(a+b\right)^2-3ab+3ab-6a^2b^2+6a^2b^2=1\)
2) Ta có \(A=\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=abc-ab-bc-ca+a+b+c-1=0\)
LD
0
AN
2
T
23 tháng 1 2020
Sửa đề: Chứng minh: \(2\le\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}+ab+bc+ca\le4\)
Đặt \(a+b+c=3u;ab+bc+ca=3v^2\)
\(\Rightarrow3\left(9u^2-6v^2\right)+3v^2=12\Rightarrow9u^2-6v^2+v^2=4\) (1)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=9u^2-6v^2=4-v^2\). Mặt khác từ (1) ta cũng suy ra:
\(\left(3u\right)^2=9u^2=4+5v^2\Rightarrow a+b+c=3u=\sqrt{4+5v^2}\)
Từ giả thiết ta có: \(12=3\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca\ge4\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow3v^2=ab+bc+ca\le3\Rightarrow0\le v\le1\) (vì \(v=\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}\ge0\)..)
Vì vậy ta cần chứng minh: \(2\le f\left(v\right)=\frac{4-v^2}{\sqrt{4+5v^2}}+3v^2\le4\) với \(0\le v\le1\)
Dễ thấy hàm số này đồng biến vì vậy f(v) đạt min tại v = 0 tức \(f\left(v\right)_{min}=2\)
Đạt Max tại v = 1 tức \(f\left(v\right)_{max}=4\)
Ta có đpcm.
P/s: Em mới học BĐT nên không chắc đâu, nhất là khúc mà em in đậm ấy.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 6 2020
Lời giải:
Ta thấy:
\(\text{VT}=(a+\frac{ca}{a+b})+(b+\frac{ab}{b+c})+(c+\frac{bc}{c+a})\)
\(=\frac{a(a+b+c)}{a+b}+\frac{b(a+b+c)}{b+c}+\frac{c(a+b+c)}{c+a}\)
\(=(a+b+c)\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\right)\)
\(\geq (a+b+c).\frac{(a+b+c)^2}{a^2+ab+b^2+bc+c^2+ac}=\frac{(a+b+c)^3}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac}\) (theo BĐT Cauchy-Schwarz)
Có:
$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=a^2+b^2+c^2+2$
$\Rightarrow a+b+c=\sqrt{a^2+b^2+c^2+2}=\sqrt{t+2}$ với $t=a^2+b^2+c^2$
Do đó:
$\text{VT}\geq \frac{\sqrt{(t+2)^3}}{t+1}$ \(=\sqrt{\frac{(t+2)^3}{(t+1)^2}}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\((t+2)^3=\left(\frac{t+1}{2}+\frac{t+1}{2}+1\right)^3\geq 27.\frac{(t+1)^2}{4}\)
\(\Rightarrow \text{VT}=\sqrt{\frac{(t+2)^3}{(t+1)^2}}\geq \sqrt{\frac{27}{4}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$
HB
1
UK
26 tháng 2 2018
Bạn post nhiều bài BĐT hay thật
Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{2x}{y+z};\dfrac{2y}{z+x};\dfrac{2z}{x+y}\right)\)
BĐT trở thành:
\(\sum_{cyc}\dfrac{x}{y+z}\ge\sum_{cyc}\dfrac{2xy}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)
Sử dụng AM-GM, ta có:
\(VP\le\sum_{cyc}xy\left[\dfrac{1}{\left(x+y\right)^2}+\dfrac{1}{\left(x+z\right)^2}\right]=\sum_{cyc}\dfrac{xy}{\left(z+x\right)^2}+\sum_{cyc}\dfrac{xy}{\left(y+z\right)^2}=\sum_{cyc}\dfrac{xy}{\left(y+z\right)^2}+\sum\dfrac{zx}{\left(y+z\right)^2}=\sum_{cyc}\dfrac{x}{y+z}=VT\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 2 2020
Trong câu hỏi tương tự có người làm rồi đó bạn:
https://hoc24.vn/hoi-dap/question/513461.html