Question

[hà mai trang]

Với mỗi số tự nhiên n, đặt \(a_n=3n^2+6n+13\)

a. Chứng minh rằng nếu hai số \(a_i,a_j\) không chia hết 5 và có số dư khác nhau khi chia cho 5 thì \(a_i+a_j\)chia hết cho 5

b. Tìm tất cả các số n lẻ sao cho \(a_n\) là số chính phương

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Ta thấy: \(a_n=3n^2+6n+13=3(n^2+2n+1)+10\)

\(=3(n+1)^2+10\)

Một số chính phương chia $5$ có thể dư $0,1,4$.

Do đó \((n+1)^2\equiv 1, 4\pmod 5\)

\(\Rightarrow a_n\equiv 3(n+1)^2+10\equiv 13, 22, 10\pmod 5\)

\(\Leftrightarrow a_n\equiv 2,3,0\pmod 5\)

Với \(a_n\not\vdots 5\Rightarrow a_n\equiv 2,3\pmod 5\)

Vậy $a_i,a_j$ không chia hết cho $5$ và có số dư khác nhau khi chia cho $5$ sẽ có một số dư $2$ và một số dư $3$

\(\Rightarrow a_i+a_j\equiv 2+3\equiv 5\equiv 0\pmod 5\)

Tức là $a_i+a_j$ chia hết cho $5$

Ta có đpcm.

Answer 2

[Akai Haruma]

b)

Theo phần a, \(a_n=3(n+1)^2+10\equiv 2,3,0\pmod 5\)

Nếu $a_n$ là một số chính phương thì \(a_n\equiv 0\pmod 5\) do số chính phương chia $5$ chỉ dư $0,1,4$

\(\Leftrightarrow 3(n+1)^2+10\vdots 5\)

\(\Leftrightarrow 3(n+1)^2\vdots 5\)

\(\Leftrightarrow (n+1)^2\vdots 5\Rightarrow n+1\vdots 5\) (do 5 là số nguyên tố)

\(\Rightarrow (n+1)^2\vdots 25\)

Do đó $a_n=3(n+1)^2+10$ là một số chia hết cho $5$ nhưng không chia hết cho $25$, suy ra $a_n$ không thể là số chính phương.