Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho parabol \(\left(P\right):y=x^2\) và đường thẳng \(\left(d\right):y=2x+3\)
1) Chứng minh rằng (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt.
2) Gọi A và B là các điểm chung của (d) và (P). Tính diện tích tam giác OAB ( O là gốc toạ độ )
Lời giải:
1)
Xét pt hoành độ giao điểm:
\(x^2-(2x+3)=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x-3=0\)
\(\Leftrightarrow (x-3)(x+1)=0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=3\\ x=-1\end{matrix}\right.\)
PT hoành độ giao điểm có hai nghiệm pb nên hai đths cũng cắt nhau tại hai điểm phân biệt hay nó có hai điểm chung phân biệt (đpcm)
2)
Không mất tổng quát giả sử \(x_A=3, x_B=-1\)
\(\Rightarrow y_A=9; y_B=1\)
\(\Rightarrow OA=\sqrt{(x_A-0)^2+(y_A-0)^2}=3\sqrt{10}\)
\(OB=\sqrt{(x_B-0)^2+(y_B-0)^2}=\sqrt{2}\)
\(AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}=4\sqrt{5}\)
Áp dụng công thức Herong với $p$ là nửa chu vi, $a=OA, b=OB,c=AB$ thì:
\(S_{OAB}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=6\) (đơn vị diện tích)
Van Han: công thức tính khoảng cách hai điểm mình nghĩ phải học rồi chứ.
\(A(x_A,y_A); B(x_B,y_B)\Rightarrow AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}\)
Ngoài ra bạn có thể tính theo cách sau sẽ đơn giản hơn:
Từ $A,B$ kẻ đường thẳng vuông góc với $Ox$ cắt $Ox$ tại $C,D$
Từ tọa độ $A,B$ đã biết suy ra \(C(3,0);D(-1,0)\). Trên mặt phẳng tọa độ ta có:
\( OD=|x_D|=1; OC=|x_C|=3\)
\(BD=|y_B|=1; AC=|y_A|=9\)
Do đó:
\(S_{BOD}=\frac{BD.DO}{2}=\frac{1.1}{2}=\frac{1}{2}\)
\(S_{AOC}=\frac{AC.OC}{2}=\frac{9.3}{2}=\frac{27}{2}\)
\(S_{ABDC}=\frac{(BD+AC).DC}{2}=\frac{(1+9).(1+3)}{2}=20\)
Có: \(S_{AOB}=S_{ABDC}-S_{AOC}-S_{BOD}=20-\frac{27}{2}-\frac{1}{2}=6\)