Chứng minh BĐT:
a) x2 + x + 1 > 0 ∀ x
b) x - \(\sqrt{x}\) + 1 > 0 ∀ x
c) x2 - xy + y2 > 0 ∀ xy , x; y ≠0
d) x2 + x\(\sqrt{2}\) + 1 > 0 ∀ x
e) ( x + y + z )2 ≤ 3( x2 + y2 + z2) ∀ xyz
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
ND
Nguyễn Đức Trí
VIP
10 tháng 9 2023
a) \(x^2+xy+y^2+1\)
\(=x^2+xy+\dfrac{y^2}{4}-\dfrac{y^2}{4}+y^2+1\)
\(=\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3y^2}{4}+1\)
mà \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2\ge0,\forall x;y\\\dfrac{3y^2}{4}\ge0,\forall x;y\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3y^2}{4}+1>0,\forall x;y\)
\(\Rightarrow dpcm\)
ND
Nguyễn Đức Trí
VIP
10 tháng 9 2023
b) \(...=x^2-2x+1+4\left(y^2+2y+1\right)+z^2-6z+9+1\)
\(=\left(x-1\right)^2+4\left(y^{ }+1\right)^2+\left(z-3\right)^2+1>0,\forall x.y\)
\(\Rightarrow dpcm\)
NT
1
26 tháng 7 2023
a: x>2
y>2
=>x+y>2+2=4
x>y>2
=>xy>2^2=4
b: x^2-xy=x(x-y)
x-y>0; x>0
=>x(x-y)>0
=>x^2-xy>0
y>2
=>y-2>0
=>y(y-2)>0
=>y^2-2y>0
x>y và y>2
=>y>0 và x-y>0
=>y(x-y)>0
=>xy-y^2>0
CM
7 tháng 10 2018
x y + ( 1 + x 2 ) ( 1 + y 2 ) = 1 ⇔ ( 1 + x ) 2 ( 1 + y ) 2 = 1 − x y ⇒ ( 1 + x 2 ) ( 1 + y 2 ) = 1 - x y 2 ⇔ 1 + x 2 + y 2 + x 2 y 2 = 1 − 2 x y + x 2 y 2 ⇔ x 2 + y 2 + 2 x y = 0 ⇔ x + y 2 = 0 ⇔ y = − x ⇒ x 1 + y 2 + y 1 + x 2 = x 1 + x 2 − x 1 + x 2 = 0
1 tháng 4 2022
⇒(x−1)^2+4(y+1)^2+(z−3)^2≥0
x^2+4y^2+z^2-2x-6z+8y+15
=x^2+4y^2+z^2-2x-6z+8y+1+1+4+9
=(x^2-2x+1)+(4y^2+8y+4)+(z^2-6z+9)+1
=(x-1)^2+4(y+1)^2+(z-3^)2+1
Ta thấy:(x−1)^2≥0
4(y+1)^2≥0
(z−3)^ 2≥0
{(x−1)^24(y+1)^2(z−3)^2≥0
⇒(x−1)^2+4(y+1)^2+(z−3)^2≥0
⇒(x−1)2+4(y+1)2+(z−3)2+1≥0+1=1>0
CT
1
27 tháng 2 2021
Đặt \(a=\dfrac{1}{x};b=\dfrac{1}{y}\). khi đó gt trở thành:
\(a+b=a^2+b^2-ab\ge\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow o\le a+b\le4\);
\(A=a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)=\left(a+b\right)^2\le16\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=2 <=> x=y=1/2
Vậy Max A = 16
a: \(x^2+x+1=x^2+x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\)
b: \(x-2\cdot\sqrt{x}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\)
c: \(=x^2-2\cdot x\cdot\dfrac{1}{2}y+\dfrac{1}{4}y^2+\dfrac{3}{4}y^2=\left(x-\dfrac{1}{2}y\right)^2+\dfrac{3}{4}y^2>0\forall x,y\ne0\)