Cho a+b+c=1. Chứng minh rằng: b+c\(\ge\)16abc ( a,b,c\(\ge\)0)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
XB
1
HC
0
AT
17 tháng 8 2018
Có:\(\left(b+c\right)^2=\left(b+c\right)^2\cdot\left(a+b+c\right)^2\)
Ta có:
\(\left(a+b+c\right)^2\ge4a\left(b+c\right)\);
\(\left(b+c\right)^2\ge4bc\);
Nhân theo vế 2 bđt trên ta có:
\(\left(b+c\right)^2\cdot\left(a+b+c\right)^2\ge4a\left(b+c\right)\cdot4bc\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)^2\ge16abc\left(b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow b+c\ge16abc\)(chia cả 2 vế cho b+c) (đpcm)
Dấu ''='' xảy ra khi: \(a=\dfrac{1}{2};b=c=\dfrac{1}{4}\)
LH
2
T
27 tháng 11 2015
Áp dụng bđt coossi ta dduowcj : \(a+b+c\ge2\sqrt{a\left(b+c\right)}\Rightarrow1\ge4a\left(b+c\right)\Rightarrow b+c\ge4a\left(b+c\right)^2\)
Mà \(\left(b+c\right)^2\ge4bc\Rightarrow b+c\ge16abc\)
Dấu = xảy ra khi a=b+c và b=c và a+b+c=1=>a=1/2;b=c=1/4
18 tháng 8 2019
a) Giả sử:
\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\frac{a^2+2ab+b^2}{4}\ge ab\)
\(\Rightarrow\frac{a^2+2ab+b^2}{4}-ab\ge0\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\Rightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng )
=> đpcm
18 tháng 8 2019
b, Bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số dương \(\frac{bc}{a}\)và \(\frac{ca}{b};\frac{bc}{a}\)và \(\frac{ab}{c};\frac{ca}{b}\)và \(\frac{ab}{c}\)
Ta lần lượt có : \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge\sqrt[2]{\frac{bc}{a}.\frac{ca}{b}}=2c;\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\ge\sqrt[2]{\frac{bc}{a}.\frac{ab}{c}}=2b;\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge\sqrt[2]{\frac{ca}{b}.\frac{ab}{c}}\)
Cộng từng vế ta đc bất đẳng thức cần chứng minh . Dấu ''='' xảy ra khi \(a=b=c\)
c, Với các số dương \(3a\) và \(5b\), Theo bất đẳng thức Cauchy ta có \(\frac{3a+5b}{2}\ge\sqrt{3a.5b}\)
\(\Leftrightarrow\left(3a+5b\right)^2\ge4.15P\)( Vì \(P=a.b\))
\(\Leftrightarrow12^2\ge60P\)\(\Leftrightarrow P\le\frac{12}{5}\Rightarrow maxP=\frac{12}{5}\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(3a=5b=12:2\)
\(\Leftrightarrow a=2;b=\frac{6}{5}\)
QN
1
QT
Quoc Tran Anh Le
Giáo viên
28 tháng 6 2019
Đề này sai đó bạn.
Giả sử c = 2,5; a = 2 và c = 1,5
Ta có: \(c\ge a;c\ge b\) nhưng \(c< a+b\) (mâu thuẫn với đề bài).
BH
2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 2 2020
\(VT=\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)=\left(b+c\right)\left(a+c\right)\left(a+b\right)\)
\(VT\ge2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}.2\sqrt{ab}=8abc\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 2 2020
Lời giải:
Vì $A+B+C=1$ ta có:
$(1-A)(1-B)(1-C)=(B+C)(C+A)(A+B)$
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương:
$B+C\geq 2\sqrt{BC}; C+A\geq 2\sqrt{CA}; A+B\geq 2\sqrt{AB}$
$\Rightarrow (1-A)(1-B)(1-C)=(B+C)(C+A)(A+B)\geq 2\sqrt{BC}.2\sqrt{CA}.2\sqrt{AB}$
hay $(1-A)(1-B)(1-C)\geq 8ABC$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $A=B=C=\frac{1}{3}$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 5 2021
Ta có đánh giá sau với a không âm:
\(\dfrac{a}{1+a^2}\le\dfrac{36a+3}{50}\)
Thật vậy, BĐT tương đương:
\(\left(36a+3\right)\left(a^2+1\right)\ge50a\)
\(\Leftrightarrow\left(3a-1\right)^2\left(4a+3\right)\ge0\) (luôn đúng)
Tương tự: \(\dfrac{b}{1+b^2}\le\dfrac{36b+3}{50}\) ; \(\dfrac{c}{1+c^2}\le\dfrac{36c+3}{50}\)
Cộng vế: \(VT\le\dfrac{36\left(a+b+c\right)+9}{50}=\dfrac{9}{10}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
19 tháng 5 2021
Ta chứng minh bđt phụ \(\dfrac{a}{1+a^2}\le\dfrac{3}{10}+\dfrac{18}{25}\left(a-\dfrac{1}{3}\right)\)
Thật vậy bđt trên \(\Leftrightarrow\dfrac{-3a^2+10a-3}{10\left(1+a^2\right)}-\dfrac{18}{25}\left(a-\dfrac{1}{3}\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-\dfrac{1}{3}\right)\left[\dfrac{3\left(3-a\right)}{10\left(1+a^2\right)}-\dfrac{18}{25}\right]\le0\)
\(\Leftrightarrow-\dfrac{36\left(a-\dfrac{1}{3}\right)^2\left(\dfrac{3}{4}+a\right)}{50\left(1+a^2\right)}\le0\) ( luôn đúng với mọi \(a\)\(\ge\)0)
Tương tự cũng có:\(\dfrac{b}{1+b^2}\le\dfrac{3}{10}+\dfrac{18}{25}\left(b-\dfrac{1}{3}\right)\); \(\dfrac{c}{1+c^2}\le\dfrac{3}{10}+\dfrac{18}{25}\left(c-\dfrac{1}{3}\right)\)
Cộng vế với vế => VT\(\le\dfrac{9}{10}+\dfrac{18}{25}\left(a+b+c-1\right)=\dfrac{9}{10}\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
Áp dụng BĐT cô si cho 2 số không âm
\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)
<=>\(\left(b+c\right)^2\ge4bc\) (1)
Áp dụng BĐT cô si cho 2 số không âm
\(a+\left(b+c\right)\ge2\sqrt{a\left(b+c\right)}\)
<=>\(\left[a+\left(b+c\right)\right]^2\ge4a\left(b+c\right)\)
<=>\(1\ge4a\left(b+c\right)\) (2)
nhân (1) với (2) ta đc
\(\left(b+c\right)^2\ge16abc.\left(b+c\right)\)
<=>\(b+c\ge16abc\) (đpcm)
\(1=\left(a+b+c\right)^2\ge4a\left(b+c\right)\)
\(\Rightarrow b+c\ge4a\left(b+c\right)^2\ge4a\cdot4bc=16abc\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b+c\\b=c\\a+b+c=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{1}{2}\\b=c=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\)