CMR: Với ba số tự nhiên a, b, c trong đó có một số lẻ và hai số chẵn ta luôn có:
\(\left(a+b+c\right)^3-\left(a+b-c\right)^3-\left(b+c-a\right)^3-\left(a-b+c\right)^3⋮96\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
19 tháng 12 2020
Bài này mình làm một lần ở trường rồi nhưng không có điện thoại chụp được:((
Ta có: \(\dfrac{a^3}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\dfrac{b^3}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\dfrac{c^3}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}=\dfrac{a^3\left(c-b\right)+b^3\left(a-c\right)-c^3\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}\)\(=\dfrac{a^3\left(c-b\right)+b^3a-b^3c-c^3a+c^3b}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}=\dfrac{a^3\left(c-b\right)-a\left(c^3-b^3\right)+bc\left(c^2-b^2\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}=\dfrac{a^3\left(c-b\right)-a\left(c-b\right)\left(a^2+bc+b^2\right)+bc\left(c-b\right)\left(c+b\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}\)\(=\dfrac{\left(c-b\right)\left(a^3-ac^2-abc-ab^2+bc^2+b^2c\right)}{\left(a-b\right)\left(c-b\right)\left(a-c\right)}=\dfrac{\left(c-b\right)\left[a\left(a^2-b^2\right)-c^2\left(a-b\right)-bc\left(a-b\right)\right]}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}\)\(=\dfrac{\left(c-b\right)\left[a\left(a-b\right)\left(a+b\right)-c\left(a-b\right)-bc\left(a-b\right)\right]}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}=\dfrac{\left(c-b\right)\left(a-b\right)\left(a^2+ab-c-bc\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}\)
\(\dfrac{\left(c-b\right)\left(a-b\right)\left[a^2-c^2+ab-bc\right]}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}=\dfrac{\left(c-b\right)\left(a-b\right)\left[\left(a-c\right)\left(a+c\right)+b\left(a-c\right)\right]}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}=\dfrac{\left(c-b\right)\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(a+b+c\right)}{\left(a-b\right)\left(c-b\right)\left(a-c\right)}\)\(=a+b+c\)
Vì a, b, c là các số nguyên
=> a+b+c là các số nguyên
=> Đpcm.
Đấy mình làm chi tiết tiền tiệt lắm luôn, không hiểu thì mình chịu rồi, trời lạnh mà đánh máy nhiều thế này buốt tay lắm luôn:vv
4 tháng 12 2018
Ta có \(x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)\)
\(x^3-y^3=\left(x-y\right)^3+3xy\left(x-y\right)\)
Áp dụng, ta có \(\left(a+b+c\right)^3-\left(a+b-c\right)^3=\left(a+b+c-a-b+c\right)^3+3\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+b+c-a-b+c\right)=\left(2c\right)^3+3\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right).2c=\left(2c\right)^3+6c\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(1\right)\)\(\left(b+c-a\right)^3+\left(a+c-b\right)^3=\left(b+c-a+a+c-b\right)^3-3\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a+a+c-b\right)=\left(2c\right)^3-3\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right).2c=\left(2c\right)^3-6c\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(2\right)\)Từ (1),(2)\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^3-\left(a+b-c\right)^3-\left(b+c-a\right)^3-\left(a+c-b\right)^3=\left(2c\right)^3+6c\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)-\left[\left(2c\right)^3-6c\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\right]=\left(2c\right)^3+6c\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)-\left(2c\right)^3+6c\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)=6c\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)+6c\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)=6c\left(a^2+2ab+b^2-c^2+ab+bc-b^2+ac+c^2-bc-a^2-ac+ab\right)=6c\left(4ab\right)=24abc\)Vậy \(\left(a+b+c\right)^3-\left(a+b-c\right)^3-\left(b+c-a\right)^3-\left(a+c-b\right)^3=24abc\)(3)
Ta có a,b,c sẽ có một số lẻ và 2 số chẵn nên \(abc⋮4\Rightarrow24abc⋮96\left(4\right)\)
Từ (3),(4)\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^3-\left(a+b-c\right)^3-\left(b+c-a\right)^3-\left(a+c-b\right)^3⋮96\)