CMR nếu x;y∈N thì:
3x+7y⋮31 khi và chỉ khi 16x+27y⋮31
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Vì (x-y)\(^2\)≥0 ∀x,y
<=> x\(^2\)-2xy+y\(^2\)≥0
<=> x\(^2\)+y\(^2\)≥2xy
<=>2(x\(^2\)+y\(^2\))≥(x+y)\(^2\) = 1 (đpcm)
giả sử : \(x+y+xy=-1\) \(\Rightarrow x+y+xy+1=0\)
\(\Rightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)=0\rightarrow x+1=0\) hoặc \(y+1=0\)
\(\Rightarrow x=-1\) hoặc \(y=-1\) ( trái giả thiết )
vậy nếu \(x\ne-1\) và \(y\ne-1\) thì \(x+y+xy\ne-1\)
theo đề bài ta có
`x+y=a`
`<=>(x+y)^2=a^2`
`<=>x^2+2xy+y^2=a^2`(1)
có
\(x^2+y^2\ge\dfrac{a^2}{2}\)
\(< =>\)\(2x^2+2y^2\ge a^2\)
thay (1) ta có
\(=>2x^2+2y^2\ge x^2+2xy+y^2\)
\(< =>2x^2+2y^2-x^2-2xy-y^2\ge0\)
\(< =>x^2-2xy+y^2\ge0\)
`<=>(x-y)^2>=0` (đúng)
dấu ''='' xảy ra khí `x=y`
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(x^3+x^3+8\ge3\sqrt[3]{8x^6}=6x^2\)
\(y^6+y^6+1+1+1+1\ge6\sqrt[6]{y^{12}}=6y^2\)
Cộng vế:
\(2\left(x^3+y^6\right)+12\ge6\left(x^2+y^2\right)\ge30\)
\(\Rightarrow x^3+y^6\ge9\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(2;1\right)\)
A)\(\left(3x+7y\right)⋮31\Rightarrow\left(15x+35y\right)⋮31\Rightarrow\left[31\left(x+y\right)+31y-\left(16x+27y\right)\right]⋮31\)
\(x;y\in N\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}31\left(x+y\right)⋮31\\31y⋮31\\\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(16x+27y\right)⋮31\)
B)
\(\left(16x+27y\right)⋮31\Rightarrow\left[31x+62y-\left(15x+35y\right)\right]⋮31\Rightarrow\left[31x+62y-5\left(3x+7y\right)\right]⋮31\)\(x;y\in N\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}31x⋮31\\62y⋮31\\5⋮̸31\end{matrix}\right.;\left(5;31\right)=1}\)\(x;y\in N\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}31\left(x+y\right)⋮31\\31y⋮31\\5⋮̸31\end{matrix}\right.\) ; \(\left(5;31\right)=1\Rightarrow\left(3x+7y\right)⋮31\)
từ (A) và (B) : \(\left(3x+7y\right)⋮31\Leftrightarrow\left(16x+27y\right)⋮31\) =>dpcm \(\Leftrightarrow dccm\)