Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác
Chứng minh: \(P=\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{c+a-b}+\dfrac{1}{a+b-c}\ge3\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
A
26 tháng 1 2021
+ 
+ 
≥ 3.
Đặt b + c – a = x > 0 (1); a + c – b = y > 0 (2); a + b – c = z > 0 (3)
Cộng (1) và (2) => b + c – a + a + c – b = x + y ⇔ 2c = x + y ⇔ c = 
Tương tự a = 
; b = 
Do đó + + = 
+ 
+ 
= 
(
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
)
= [( + ) + ( + ) + ( + )] ≥ (2 + 2 + 2) = 3.
Vậy + + ≥ 3.
20 tháng 3 2021
bạn trình bày rõ bđt 1/x + 1/y >_ 4/x+y dc ko vì mình ko hiểu lắm
AH
Akai Haruma
Giáo viên
24 tháng 10 2018
Lời giải:
Đặt \((b+c-a, c+a-b, a+b-c)=(x,y,z)\Rightarrow (a,b,c)=(\frac{y+z}{2}; \frac{x+z}{2}; \frac{x+y}{2})\)
Tất nhiên $x,y,z>0$ vì $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác.
Khi đó, áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:
\(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}=\frac{y+z}{2x}+\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z}\)
\(\geq 3\sqrt[3]{\frac{(y+z)(x+z)(x+y)}{8xyz}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{2\sqrt{yz}.2\sqrt{xz}.2\sqrt{xy}}{8xyz}}=3\)
Ta có đpcm
b) Vẫn cách đặt giống phần a. Áp dụng BĐT Cô-si:
\(\frac{a}{a+b-c}+\frac{b}{b+c-a}+\frac{c}{c+a-b}=\frac{y+z}{2z}+\frac{x+z}{2x}+\frac{x+y}{2y}=\frac{y}{2z}+\frac{z}{2x}+\frac{x}{2y}+\frac{3}{2}\)
\(\geq 3\sqrt[3]{\frac{y}{2z}.\frac{z}{2x}.\frac{x}{2y}}+\frac{3}{2}=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3\)
Ta có đpcm.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 1 2022
\(\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}\ge\dfrac{4}{a+b-c+b+c-a}=\dfrac{2}{b}\)
Tương tự:
\(\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{c+a-b}\ge\dfrac{2}{a}\) ; \(\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{c+a-b}\ge\dfrac{2}{c}\)
Cộng vế:
\(2\left(\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{c+a-b}\right)\ge\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{c+a-b}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
24 tháng 3 2023
cho em hỏi tại sao 1/a+b-c +1/b+c-a>=4/a+b-c+b+c-a vậy ạ
1 tháng 7 2017
surf trc khi hỏi Câu hỏi của Duong Thi Nhuong TH Hoa Trach - Phong GD va DT Bo Trach - Toán lớp 8 | Học trực tuyến
1 tháng 7 2017
Giải:
Ta có BĐT phụ: \(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le abc\)
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có:
\(\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{c+a-b}+\dfrac{c}{a+b-c}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\dfrac{abc}{\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\dfrac{abc}{abc}}\ge3\) (Đpcm)
12 tháng 5 2022
-Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}b+c-a=x>0\\c+a-b=y>0\\a+b-c=z>0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2c=x+y\\2a=y+z\\2b=z+x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=\dfrac{x+y}{2}\\a=\dfrac{y+z}{2}\\b=\dfrac{z+x}{2}\end{matrix}\right.\)
\(A=\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{c+a-b}+\dfrac{c}{a+b-c}=\dfrac{\dfrac{y+z}{2}}{x}+\dfrac{\dfrac{z+x}{2}}{y}+\dfrac{\dfrac{x+y}{2}}{z}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{z+x}{y}+\dfrac{x+y}{z}\right)=\dfrac{1}{2}\left[\left(\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}\right)+\left(\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}\right)+\left(\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}\right)\right]\ge\dfrac{1}{2}.\left(2+2+2\right)=3\left(đpcm\right)\)
-Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 1 2021
Lời giải:
Do $a,b,c>0$ nên:\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1(1)\)
Vì $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác nên theo BĐT tam giác thì:
$a+b>c\Rightarrow 2(a+b)>a+b+c\Rightarrow a+b>\frac{a+b+c}{2}$
$\Rightarrow \frac{c}{a+b}< \frac{2c}{a+b+c}$. Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2(2)\)
Từ $(1);(2)$ ta có đpcm.