Tìm GTNN của \(A=\dfrac{x}{y}+\dfrac{z}{t}\) biết rằng \(1\le x\le y\le z\le t\le25\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
0
MT
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 6 2020
\(B=\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\ge\frac{9}{2x+y+z+x+2y+z+x+y+2z}=\frac{9}{4\left(x+y+z\right)}\ge\frac{9}{4}.1=\frac{9}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
29 tháng 6 2020
Áp dụng Bất đẳng thức: \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\) (Tự chứng minh)
\(\Rightarrow C=\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz}=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}\ge\frac{9}{3^2}=1\)Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 6 2020
\(C=\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}\ge\frac{9}{3^2}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
31 tháng 12 2021
\(c,P=\dfrac{x^2-x^2+8xy-16y^2}{x^2+4y^2}=\dfrac{8\left(\dfrac{x}{y}\right)-16}{\left(\dfrac{x}{y}\right)^2+4}\)
Đặt \(\dfrac{x}{y}=t\)
\(\Leftrightarrow P=\dfrac{8t-16}{t^2+4}\Leftrightarrow Pt^2+4P=8t-16\\ \Leftrightarrow Pt^2-8t+4P+16=0\)
Với \(P=0\Leftrightarrow t=2\)
Với \(P\ne0\Leftrightarrow\Delta'=16-P\left(4P+16\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow-P^2-4P+4\ge0\Leftrightarrow-2-2\sqrt{2}\le P\le-2+2\sqrt{2}\)
Vậy \(P_{max}=-2+2\sqrt{2}\Leftrightarrow t=\dfrac{4}{P}=\dfrac{4}{-2+2\sqrt{2}}=2+\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{y}=2+2\sqrt{2}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
3 tháng 3 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$30=(x+y+z)+(x^2+4)+(y^2+4)+(z^2+4)\geq (x+y+z)+4x+4y+4z=5(x+y+z)$
$\Rightarrow x+y+z\leq 6$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(P\geq \frac{9}{x+y+1+y+z+1+x+z+1}=\frac{9}{2(x+y+z)+3}=\frac{9}{2.6+3}=\frac{3}{5}\)
Vậy $P_{\min}=\frac{3}{5}$ khi $x=y=z=2$
HN
17 tháng 4 2018
Chứng minh \(P\ge\dfrac{1}{6}\)
\(\Leftrightarrow\sum\left(\dfrac{x}{16}-\dfrac{x}{y^3+16}\right)\le\dfrac{1}{48}\)
\(\Leftrightarrow\sum\left(\dfrac{xy^3}{y^3+16}\right)\le\dfrac{1}{3}\)
Mà ta có
\(\dfrac{x^3+8+8}{12}\ge x\)
\(\Leftrightarrow x\le\dfrac{x^3+16}{12}\)
\(\Rightarrow\sum\left(\dfrac{xy^3}{y^3+16}\right)\le\sum\left(\dfrac{xy^2}{12}\right)\)
Giờ chứng minh
\(xy^2+yz^2+zx^2\le4\)