Cho a, b, c > 0 .CMR: \(\dfrac{ab}{a+b}+\dfrac{bc}{b+c}+\dfrac{ac}{a+c}\) ≤ \(\dfrac{1}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
19 tháng 6 2021
Áp dụng bđt cosi ta có:
`a+b>=2sqrt{ab}`
`=>(ab)/(a+b)<=(sqrt{ab})/2`
Chứng minh tt:
`(bc)/(b+c)<=(sqrt{bc})/2`
`(ca)/(a+c)<=(sqrt{ca})/2`
`=>VT<=(sqrt{ab}+sqrt{bc}+sqrt{ca})/2`
Áp dụng cosi:
`sqrt{ab}<=(a+b)/2`
`sqrt{bc}<=(b+c)/2`
`sqrt{ca}<=(c+a)/2`
`=>(sqrt{ab}+sqrt{bc}+sqrt{ca})/2<=(a+b+c)/2`
`=>VT<=(a+b+c)/2`
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 1 2022
a.
\(\sum\dfrac{ab}{a+c+b+c}\le\dfrac{1}{4}\sum\left(\dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{b+c}\right)=\dfrac{a+b+c}{4}\)
2.
\(\dfrac{ab}{a+3b+2c}=\dfrac{ab}{a+b+2c+2b}\le\dfrac{ab}{9}\left(\dfrac{4}{a+b+2c}+\dfrac{1}{2b}\right)=4.\dfrac{ab}{a+b+2c}+\dfrac{a}{18}\)
Quay lại câu a
23 tháng 6 2021
Áp dụng bđt cosi schwart ta có:
`VT>=(a+b+c)^2/(a+b+c+sqrt{ab}+sqrt{bc}+sqrt{ca})`
Dễ thấy `sqrt{ab}+sqrt{bc}+sqrt{ca}<a+b+c`
`=>VT>=(a+b+c)^2/(2(a+b+c))=(a+b+c)/2=3`
Dấu "=" `<=>a=b=c=1.`
HN
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 6 2018
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương:
\(a^2+bc\geq 2\sqrt{a^2bc}; b^2+ac\geq 2\sqrt{b^2ac}; c^2+ab\geq 2\sqrt{c^2ab}\)
Do đó:
\(\text{VT}=\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{1}{2\sqrt{a^2bc}}+\frac{1}{2\sqrt{b^2ac}}+\frac{1}{2\sqrt{c^2ab}}\)
hay \(\text{VT}\leq \frac{\sqrt{bc}+\sqrt{ac}+\sqrt{ab}}{2abc}(*)\)
Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:
\(\left\{\begin{matrix} \sqrt{bc}\leq \frac{b+c}{2}\\ \sqrt{ac}\leq \frac{a+c}{2}\\ \sqrt{ab}\leq \frac{a+b}{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\leq a+b+c(**)\)
Từ \((*);(**)\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{a+b+c}{2abc}\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 8 2021
\(\dfrac{a+b}{ab+c^2}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(ab+c^2\right)\left(a+b\right)}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{b\left(a^2+c^2\right)+a\left(b^2+c^2\right)}\le\dfrac{a^2}{b\left(a^2+c^2\right)}+\dfrac{b^2}{a\left(b^2+c^2\right)}\)
Tương tự:
\(\dfrac{b+c}{bc+a^2}\le\dfrac{b^2}{c\left(a^2+b^2\right)}+\dfrac{c^2}{b\left(a^2+c^2\right)}\) ; \(\dfrac{c+a}{ca+b^2}\le\dfrac{c^2}{a\left(b^2+c^2\right)}+\dfrac{a^2}{c\left(a^2+b^2\right)}\)
Cộng vế:
\(VT\le\dfrac{1}{a}\left(\dfrac{b^2}{b^2+c^2}+\dfrac{c^2}{b^2+c^2}\right)+\dfrac{1}{b}\left(\dfrac{a^2}{a^2+c^2}+\dfrac{c^2}{a^2+c^2}\right)+\dfrac{1}{c}\left(\dfrac{a^2}{a^2+b^2}+\dfrac{b^2}{a^2+b^2}\right)=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
KK
20 tháng 5 2018
\(VT=\dfrac{a^3}{a^2+abc}+\dfrac{b^3}{b^2+abc}+\dfrac{c^3}{c^2+abc}\)
Xét \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\Leftrightarrow ab+bc+ac=abc\)
\(\Rightarrow VT=\dfrac{a^3}{a^2+ab+bc+ac}+\dfrac{b^3}{b^2+ab+bc+ac}+\dfrac{c^3}{c^2+ab+bc+ac}\)
\(\Leftrightarrow VT=\dfrac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{b^3}{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{c^3}{\left(c+b\right)\left(c+a\right)}\)
Áp dụng bđt Cauchy ta có :
\(\dfrac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{a+b}{8}+\dfrac{a+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^3}{64}}=\dfrac{3a}{4}\)
Thiết lập tương tự và thu lại ta có :
\(VT+\dfrac{a+b+c}{2}\ge\dfrac{3}{4}\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{3}{4}\left(a+b+c\right)-\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\dfrac{a+b+c}{4}\left(đpcm\right)\)
Dấu '' = '' xảy ra khi \(a=b=c=3\)