Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M thuộc AC. Vẽ đường tròn O đường kính MC cắt BC tại E. Nối BM cắt đường tròn O tại N. Nói AN cắt đường tròn O tại D. Lấy I đối xứng với M qua A, K đối xứng với M qua E. Chứng minh:
a. Tứ giác BANC nội tiếp.
b. CA là phân giác của góc BCD
c. ABED là hình thang.
d. Tìm vị trí của M để đường tròn ngoại tiếp tam giác BIK có bán kính R nhỏ nhất.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a, Học sinh tự chứng minh
b, Học sinh tự chứng minh
c, Học sinh tự chứng minh
d, Chú ý: B I A ^ = B M A ^ , B M C ^ = B K C ^
=> Tứ giác BICK nội tiếp đường tròn (T), mà (T) cũng là đường tròn ngoại tiếp DBIK. Trong (T), dây BC không đổi mà đường kính của (T) ≥ BC nên đường kính nhỏ nhất bằng BC
Dấu "=" xảy ra <=> B I C ^ = 90 0 => I ≡ A => MA
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Vì MC là đường kính (O) mà \(N\in\left(O\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{MNC}=90^o\).Lại có \(\widehat{BAC}=90^o\)
=> B,A,N,C cùng thuộc 1 đường tròn
=> Tứ giác BANC nội tiếp
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a: Xét (O) có
ΔAMB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAMB vuông tại M
Câu a:
Xét tứ giác ABCN có: \(\widehat{BAC}=\widehat{CNB}=90^0\)
⇒ ABCN nội tiếp
Câu b:
\(M,C,D,N\in\left(O\right)\)
⇒ MCDN nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{DCM}+\widehat{DNM}=180^0\)
mà \(\widehat{DNM}+\widehat{BNA}=180^0\left(\text{2 góc kề bù}\right)\)
⇒ \(\widehat{DCM}=\widehat{BNA}\)
mà \(\widehat{ACB}=\widehat{BNA}\) (ABCN nội tiếp)
⇒ \(\widehat{DCM}=\widehat{ACB}\)
⇒ CA là tia phân giác của \(\widehat{BCD}\)
Câu c:
Vì ABCN nội tiếp nên \(\widehat{ABC}+\widehat{ANC}=180^0\)
mà \(\widehat{DNC}+\widehat{ANC}=180^0\left(\text{2 góc kề bù}\right)\)
⇒ \(\widehat{ABC}=\widehat{DNC}\)
mà \(\widehat{DEC}=\widehat{DNC}\left(\text{cùng chắn }\stackrel\frown{DC}\text{ của }\left(O\right)\right)\)
⇒ \(\widehat{ABC}=\widehat{DEC}\) tại vị trí đồng vị
⇒ AB // DE
⇒ ABED là hình thang
Câu d:
• Theo gt, ta có: M đx K qua E
mà MK ⊥ BC tại E
⇒ BC là đường trung trực của MK
⇒ \(\widehat{BKM}=\widehat{BMK}\) và \(\widehat{CKM}=\widehat{CMK}\)
• Tương tự, ta cũng có AB là đường trung trực của IM
⇒ \(\widehat{BIA}=\widehat{BMA}\)
• Xét tứ giác BICK có:
\(\widehat{BIC}+\widehat{BKC}=\widehat{BMA}+\widehat{BKM}+\widehat{CKM}=\widehat{BMA}+\widehat{BMK}+\widehat{CMK}=180^0\)
⇒ BICK nội tiếp
• Gọi (O') là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BICK
⇒ O' thuộc đường trung trực của BC
⇒ O'B nhỏ nhất khi O' là trung điểm của BC
mà O'B = O'C = O'K
⇒ ΔKBC vuông tại K
⇒ \(\widehat{BKC}=\widehat{BMC}=90^0\)
⇒ \(M\equiv A\)
Suy ra đường tròn ngoại tiếp ΔBIK có bán kính R nhỏ nhất khi M trùng A.