Rút gọn biểu thức \(A=\dfrac{ab+10b+25}{ab+5a+5b+25}+\dfrac{bc+10c+25}{bc+5b+5c+25}+\dfrac{ca+10a+25}{ac+5a+5c+25}\) với a, b, c khác 5
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
T
1
29 tháng 11 2023
\(\dfrac{ab+a^2}{b^2-5b+5a-a^2}\cdot\dfrac{a^2-10a+25-b^2}{a^2-b^2}\)
\(=\dfrac{a\left(a+b\right)}{\left(b^2-a^2\right)-\left(5b-5a\right)}\cdot\dfrac{\left(a-5\right)^2-b^2}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}\)
\(=\dfrac{a\left(a+b\right)}{\left(b-a\right)\left(b+a\right)-5\left(b-a\right)}\cdot\dfrac{\left(a-5-b\right)\left(a-5+b\right)}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}\)
\(=\dfrac{a}{a-b}\cdot\dfrac{\left(a-b-5\right)\left(a+b-5\right)}{\left(b-a\right)\left(b+a-5\right)}\)
\(=\dfrac{a}{a-b}\cdot\dfrac{a-b-5}{b-a}=\dfrac{-a\left(a-b-5\right)}{\left(a-b\right)^2}\)
TA
7 tháng 11 2018
\(\dfrac{a}{ab+bc+ac+c^2}=\dfrac{a}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)
\(\dfrac{b}{bc+ac+ab+a^2}=\dfrac{b}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)
\(\dfrac{c}{ac+ab+b^2+bc}=\dfrac{c}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 4 2021
Lời giải:
Bạn nhớ tới bổ đề sau: Với $a,b>0$ thì $a^3+b^3\geq ab(a+b)$.
Áp dụng vào bài:
$5a^3-b^3\leq 5a^3-[ab(a+b)-a^3]=6a^3-ab(a+b)$
$\Rightarrow \frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}\leq \frac{6a^3-ab(a+b)}{ab+3a^2}=\frac{6a^2-ab-b^2}{3a+b}=\frac{(3a+b)(2a-b)}{3a+b}=2a-b$
Tương tự:
$\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}\leq 2b-c; \frac{5c^3-a^3}{ca+3c^2}\leq 2c-a$
Cộng theo vế:
$\Rightarrow \text{VT}\leq a+b+c=3$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
UK
1 tháng 3 2019
Ta chứng minh bổ đề sau:
\(\dfrac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}\le2b-a\)
\(\Leftrightarrow5b^3-a^3\le\left(2b-a\right)\left(ab+3b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow5b^3-a^3\le2ab^2+6b^3-a^2b-3b^2a\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3-a^2b-b^2a\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)
Bất đẳng thức cuối luôn đúng, vậy ta có
\(M\le2a-b+2b-c+2c-a=a+b+c\)Chứng minh hoàn tất. Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 4 2019
\(M=\sum\frac{ab}{\sqrt{\left(2a+3b\right)^2+\left(a-b\right)^2}}\le\sum\frac{ab}{\sqrt{\left(2a+3b\right)^2}}=\sum\frac{ab}{2a+3b}\)
\(\Rightarrow M\le\frac{1}{32}\sum ab\left(\frac{2}{a}+\frac{3}{b}\right)=\frac{1}{25}\sum\left(3a+2b\right)=\frac{1}{5}\left(a+b+c\right)\)
\(M\le\frac{1}{5}\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{1}{5}.3=\frac{3}{5}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)
HN
28 tháng 9 2017
Áp dụng bổ đề:
\(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)
Ta có:
\(\dfrac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}+\dfrac{19c^3-b^3}{bc+5c^2}+\dfrac{19a^3-c^3}{ac+5a^2}\)
\(\le\dfrac{20b^3-ab\left(a+b\right)}{ab+5b^2}+\dfrac{20c^3-bc\left(b+c\right)}{bc+5c^2}+\dfrac{20a^3-ca\left(c+a\right)}{ac+5a^2}\)
\(=\dfrac{b\left(4b-a\right)\left(5b+a\right)}{ab+5b^2}+\dfrac{c\left(4c-b\right)\left(5c+b\right)}{bc+5c^2}+\dfrac{a\left(4a-c\right)\left(5a+c\right)}{ac+5a^2}\)
\(=4b-a+4c-b+4a-c=3\left(a+b+c\right)\)
TK
28 tháng 9 2017
Pls tìm trước khi hỏi $$\dfrac{19b^3-a^3}{ab+5^2}+\dfrac{19c^3-b^3}{bc+5c^2}+\dfrac ...
Cho a,b,c>0.Cm:(19b^3-a^3)/(ab+5b^2)+ - Trường Toán Pitago – Hướng dẫn ...
C/m bất đẳng thức khó cho hsg
C/m bất đẳng thức khó cho hsg | Diễn đàn HOCMAI - Cộng đồng học tập ...
Cho a,b,c >0 và a+b+c=1.CMR (19b^3-a^3)/(ba+5b^2)+(19c^3-b^3)/(cb ...
Câu hỏi của Anh đẹp traiii - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Học tại nhà - Toán - Chứng minh đẳng thức
Bất đẳng thức - K2PI – TOÁN THPT | Chia sẻ Tài liệu, đề thi, hỗ trợ ...
Bất đẳng thức
Đề thi HSG 12 THPT An Lão, Hải Phòng - Diễn Đàn MathScope
giúp tớ bài toán Cm 9 này với! hu hu!? | Yahoo Hỏi & Đáp
VMF,HMF,k2pi, mathscope,... đủ cả
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 10 2021
\(404=3\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)-2\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)\ge\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2-\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2\le1212\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le2\sqrt{303}\)
Ta có:
\(5a^2+2ab+2b^2=\left(a-b\right)^2+\left(2a+b\right)^2\ge\left(2a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{1}{2a+b}+\dfrac{1}{2b+c}+\dfrac{1}{2c+a}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{2}{c}+\dfrac{1}{a}\right)=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\le\dfrac{2\sqrt{303}}{3}\)
\(A=\dfrac{ab+10b+25}{ab+5a+5b+25}+\dfrac{bc+10c+25}{bc+5b+5c+25}+\dfrac{ca+10a+25}{ac+5a+5c+25}\)
\(=\dfrac{\left(ab+5b\right)+\left(5b+25\right)}{\left(ab+5a\right)+\left(5b+25\right)}+\dfrac{\left(bc+5c\right)+\left(5c+25\right)}{\left(bc+5b\right)+\left(5c+25\right)}+\dfrac{\left(ca+5a\right)+\left(5a+25\right)}{\left(ac+5a\right)+\left(5c+25\right)}\)
\(=\dfrac{b\left(a+5\right)+5\left(b+5\right)}{a\left(b+5\right)+5\left(b+5\right)}+\dfrac{c\left(b+5\right)+5\left(c+5\right)}{b\left(c+5\right)+5\left(c+5\right)}+\dfrac{a\left(c+5\right)+5\left(a+5\right)}{a\left(c+5\right)+5\left(c+5\right)}\)
\(=\dfrac{b\left(a+5\right)+5\left(b+5\right)}{\left(a+5\right)\left(b+5\right)}+\dfrac{c\left(b+5\right)+5\left(c+5\right)}{\left(b+5\right)\left(c+5\right)}+\dfrac{a\left(c+5\right)+5\left(a+5\right)}{\left(a+5\right)\left(c+5\right)}\)
\(=\dfrac{b}{b+5}+\dfrac{5}{a+5}+\dfrac{c}{c+5}+\dfrac{5}{b+5}+\dfrac{a}{a+5}+\dfrac{5}{c+5}\)
\(=\left(\dfrac{b}{b+5}+\dfrac{5}{b+5}\right)+\left(\dfrac{a}{a+5}+\dfrac{5}{a+5}\right)+\left(\dfrac{c}{c+5}+\dfrac{5}{c+5}\right)\)
\(=1+1+1=3\) (\(a;b;c\ne-5\))
\(A=\dfrac{ab+5b+5b+25}{a\left(b+5\right)+5\left(b+5\right)}+\dfrac{bc+5c+5c+25}{b\left(c+5\right)+5\left(c+5\right)}+\dfrac{ca+5a+5a+25}{a\left(c+5\right)+5\left(c+5\right)}\)
\(A=\dfrac{b\left(a+5\right)+5\left(b+5\right)}{\left(a+5\right)\left(b+5\right)}+\dfrac{c\left(b+5\right)+5\left(c+5\right)}{\left(b+5\right)\left(c+5\right)}+\dfrac{a\left(c+5\right)+5\left(a+5\right)}{\left(a+5\right)\left(c+5\right)}\)
\(A=\dfrac{b}{b+5}+\dfrac{5}{a+5}+\dfrac{c}{c+5}+\dfrac{5}{b+5}+\dfrac{a}{a+5}+\dfrac{5}{c+5}\)
\(A=\dfrac{a+5}{a+5}+\dfrac{b+5}{b+5}+\dfrac{c+5}{c+5}=1+1+1=3\)