tìm x, y nguyên thỏa mãn (y+2)x +1 = y2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 12 2020
1.
\(5=3xy+x+y\ge3xy+2\sqrt{xy}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{xy}-1\right)\left(3\sqrt{xy}+5\right)\le0\Rightarrow xy\le1\)
\(P=\dfrac{\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)+\left(y+1\right)\left(y^2+1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}-\sqrt{9-5xy}\)
\(P=\dfrac{\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+\left(x+y\right)^2-2xy+x+y+2}{x^2y^2+\left(x+y\right)^2-2xy+1}-\sqrt{9-5xy}\)
Đặt \(xy=a\Rightarrow0< a\le1\)
\(P=\dfrac{\left(5-3a\right)^3-3a\left(5-3a\right)+\left(5-3a\right)^2-2a+5-3a+2}{a^2+\left(5-3a\right)^2-2a+1}-\sqrt{9-5a}\)
\(P=\dfrac{-27a^3+153a^2-275a+157}{10a^2-32a+26}-\dfrac{1}{2}.2\sqrt{9-5a}\)
\(P\ge\dfrac{-27a^3+153a^2-275a+157}{10a^2-32a+26}-\dfrac{1}{4}\left(4+9-5a\right)\)
\(P\ge\dfrac{-29a^3+161a^2-277a+145}{4\left(5a^2-16a+13\right)}=\dfrac{\left(1-a\right)\left(29a^2-132a+145\right)}{4\left(5a^2-16a+13\right)}\)
\(P\ge\dfrac{\left(1-a\right)\left[29a^2+132\left(1-a\right)+13\right]}{4\left(5a^2-16a+13\right)}\ge0\)
\(P_{min}=0\) khi \(a=1\) hay \(x=y=1\)
Hai phân thức của P rất khó làm gọn bằng AM-GM hoặc Cauchy-Schwarz (nó hơi chặt)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 12 2020
2.
Đặt \(A=9^n+62\)
Do \(9^n⋮3\) với mọi \(n\in Z^+\) và 62 ko chia hết cho 3 nên \(A⋮̸3\)
Mặt khác tích của k số lẻ liên tiếp sẽ luôn chia hết cho 3 nếu \(k\ge3\)
\(\Rightarrow\) Bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi \(k=2\)
Do tích của 2 số lẻ liên tiếp đều không chia hết cho 3, gọi 2 số đó lần lượt là \(6m-1\) và \(6m+1\)
\(\Leftrightarrow\left(6m-1\right)\left(6m+1\right)=9^n+62\)
\(\Leftrightarrow36m^2=9^n+63\)
\(\Leftrightarrow4m^2=9^{n-1}+7\)
\(\Leftrightarrow\left(2m\right)^2-\left(3^{n-1}\right)^2=7\)
\(\Leftrightarrow\left(2m-3^{n-1}\right)\left(2m+3^{n-1}\right)=7\)
Pt ước số cơ bản, bạn tự giải tiếp
PT
1
CM
25 tháng 2 2017
Ta có (1) ⇔ x 4 + x 2 + 20 = y 2 + y
Ta thấy: x 4 + x 2 < x 4 + x 2 + 20 ≤ x 4 + x 2 + 20 + 8 x 2 ⇔ x 2 ( x 2 + 1 ) < y ( y + 1 ) ≤ ( x 2 + 4 ) ( x 2 + 5 )
Vì x, y ∈ Z nên ta xét các trường hợp sau
+ TH1. y ( y + 1 ) = ( x 2 + 1 ) ( x 2 + 2 ) ⇔ x 4 + x 2 + 20 = x 4 + 3 x 2 + 2 ⇔ 2 x 2 = 18 ⇔ x 2 = 9 ⇔ x = ± 3
Với x 2 = 9 ⇒ y 2 + y = 9 2 + 9 + 20 ⇔ y 2 + y − 110 = 0 ⇔ y = 10 ; y = − 11 ( t . m )
+ TH2 y ( y + 1 ) = ( x 2 + 2 ) ( x 2 + 3 ) ⇔ x 4 + x 2 + 20 = x 4 + 5 x 2 + 6 ⇔ 4 x 2 = 14 ⇔ x 2 = 7 2 ( l o ạ i )
+ TH3: y ( y + 1 ) = ( x 2 + 3 ) ( x 2 + 4 ) ⇔ 6 x 2 = 8 ⇔ x 2 = 4 3 ( l o ạ i )
+ TH4: y ( y + 1 ) = ( x 2 + 4 ) ( x 2 + 5 ) ⇔ 8 x 2 = 0 ⇔ x 2 = 0 ⇔ x = 0
Với x 2 = 0 ta có y 2 + y = 20 ⇔ y 2 + y − 20 = 0 ⇔ y = − 5 ; y = 4
Vậy PT đã cho có nghiệm nguyên (x;y) là :
(3;10), (3;-11), (-3; 10), (-3;-11), (0; -5), (0;4).
9 tháng 2 2023
a) \(\left(x+y+1\right)^3=x^3+y^3+7\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+3\left(x+y\right)\left(x+y+1\right)+1=x^3+y^3+7\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)+3\left(x+y\right)\left(x+y+1\right)+1=x^3+y^3+7\)
\(\Leftrightarrow3\left(x+y\right)\left(x+y+xy+1\right)=6\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left[x\left(1+y\right)+1+y\right]=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(x+y\right)=2\)
\(\Rightarrow x+1,y+1,x+y\) là các ước của 2.
Ta thấy 6 có 2 dạng phân tích thành tích 3 số nguyên là \(\left(2;1;1\right)\) và\(\left(2;-1;-1\right)\).
- Xét trường hợp \(\left(2;1;1\right)\). Ta có 3 trường hợp nhỏ:
\(\left\{{}\begin{matrix}x+1=2\\y+1=1\\x+y=1\end{matrix}\right.\) ; \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=1\\y+1=2\\x+y=1\end{matrix}\right.\) ; \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=1\\y+1=1\\x+y=2\end{matrix}\right.\)
Giải ra ta có \(\left(x,y\right)=\left(1;0\right),\left(0;1\right)\).
- Xét trường hợp \(\left(2;-1;-1\right)\). Ta có 3 trường hợp nhỏ:
\(\left\{{}\begin{matrix}x+1=2\\y+1=-1\\x+y=-1\end{matrix}\right.\) ; \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=-1\\y+1=2\\x+y=-1\end{matrix}\right.\) ; \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=-1\\y+1=1\\x+y=2\end{matrix}\right.\).
Giải ra ta có: \(\left(x;y\right)=\left(1;-2\right),\left(-2;1\right)\).
Vậy \(\left(x;y\right)=\left(0;1\right),\left(1;0\right),\left(1;-2\right),\left(-2;1\right)\)
9 tháng 2 2023
b) \(y^2+2xy-8x^2-5x=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+2xy+y^2\right)-\left(9x^2+5x\right)=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-9\left(x^2+\dfrac{5}{9}x+\dfrac{25}{324}\right)+\dfrac{25}{36}=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-9\left(x+\dfrac{5}{18}\right)^2=\dfrac{47}{36}\)
\(\Leftrightarrow6^2.\left(x+y\right)^2-3^2.6^2\left(x+\dfrac{5}{18}\right)^2=47\)
\(\Leftrightarrow\left(6x+6y\right)^2-\left(18x+5\right)^2=47\)
\(\Leftrightarrow\left(6x+6y-18x-5\right)\left(6x+6y+18x+5\right)=47\)
\(\Leftrightarrow\left(6y-12x-5\right)\left(24x+6y+5\right)=47\)
\(\Rightarrow\)6y-12x-5 và 24x+6y+5 là các ước của 47.
Lập bảng:
| 6y-12x-5 | 1 | 47 | -1 | -47 |
| 24x+6y+5 | 47 | 1 | -47 | -1 |
| x | 1 | \(\dfrac{-14}{9}\left(l\right)\) | \(\dfrac{-14}{9}\left(l\right)\) | 1 |
| y | 3 | \(\dfrac{50}{9}\left(l\right)\) | \(-\dfrac{22}{9}\left(l\right)\) | -5 |
Vậy pt đã cho có 2 nghiệm (x;y) nguyên là (1;3) và (1;-5)
N
9 tháng 11 2021
Sửa đề :
Tìm tất cả cặp số nguyên x, y thỏa mãn: y2+2xy−3x−2=0
Giải
Coi phương trình đã hco là phương trình bậc hai ẩn yy có tham số x.x.
Ta có: Δ=4x2+12x+8.Δ=4x2+12x+8.
Vì x, y∈Z⇒Δx, y∈Z⇒Δ phải là số chính phương.
⇒4x2+12x+8=k2⇔4x2+12x+9−k2=1⇔(2x+3)2−k2=1⇔(2x+3−k)(2x+3+k)=1⇔⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣{2x+3−k=12x+3+k=1{2x+3−k=−12x+3+k=−1⇔⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣{x=−1(tm)k=0{x=−2(tm)k=0.⇒4x2+12x+8=k2⇔4x2+12x+9−k2=1⇔(2x+3)2−k2=1⇔(2x+3−k)(2x+3+k)=1⇔[{2x+3−k=12x+3+k=1{2x+3−k=−12x+3+k=−1⇔[{x=−1(tm)k=0{x=−2(tm)k=0.
Với x=−1⇒(∗)⇔y2−2y+1=0⇔(y−1)2=0⇔y=1 (tm).x=−1⇒(∗)⇔y2−2y+1=0⇔(y−1)2=0⇔y=1 (tm).
Với x=−2⇒(∗)⇔y2−4y+4=0⇔(y−2)2=0⇔y=2 (tm).x=−2⇒(∗)⇔y2−4y+4=0⇔(y−2)2=0⇔y=2 (tm).
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: (x; y)={(−1; 1); (−2; 2)}.
Nó bị lỗi phông thông cảm
HT
NM
3
XO
25 tháng 7 2023
\(x^2+y^2+2\left(x+y\right)-xy=0\)
\(\Leftrightarrow4x^2-4xy+4y^2+8\left(x+y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-y\right)^2+4\left(2x-y\right)+4+3y^2+12y+12=-16\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-y+2\right)^2+3\left(y+2\right)^2=-16\)
Dễ thấy VT \(\ge0\) ; VP < 0 nên phương trình vô nghiệm
ND
Nguyễn Đức Trí
VIP
24 tháng 7 2023
\(x^2+y^2-2\left(x+y\right)=xy\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2-2y+1=2+xy\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=2+xy\)
Ta lại có : \(\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge2\left(x-1\right)\left(y-1\right)\) (Bất đẳng thức Cauchy)
=> (y + 2).x + (4 - y2) = 3
=> (y + 2).x - (y + 2)(y - 2) = 3
=> (y + 2)(x - y + 2) = 3
=> y + 2 \(\in\)Ư(3) = {-3;-1;1;3}
+) y + 2 = -3 => y = -5 và x - y + 2 = -1 => x = -3 + y = -8
+) y + 2 = -1 => y = -3 và x - y + 2 = -3 => x = -5 + y = -8
+) y + 2 = 1 => y = -1 ; x = 0
+) y + 2 = 3 => y = 1; x = 0
Vậy...