Question

[Nguyễn Bá Hải]

Cho \(\Delta ABC\) cân tại A. Gọi D là trung điểm của BC. Từ D kẻ DE \(\perp\) AB, DF \(\perp\) AC. Chứng minh rằng:

a) \(\Delta ABD=\Delta ACD\)

b) AD \(\perp\)BC

c) Cho AC = 10cm, BC = 12cm. Tính AD.

d) Tam giác DEF cân.

Answer 1

[Hắc Hường]

Hình vẽ:

Giải:

a) Xét tam giác ABD và tam giác ACD, có:

\(AB=AC\) (Tam giác ABC cân tại A)

\(\widehat{B}=\widehat{C}\) (Tam giác ABC cân tại A)

\(BD=CD\) ( D là trung điểm của BC)

\(\Leftrightarrow\Delta ABD=\Delta ACD\left(c.g.c\right)\)

b) Ta có: \(\Delta ABD=\Delta ACD\) (câu a)

\(\Rightarrow\widehat{ADB}=\widehat{ADC}\) (Hai cạnh tương ứng)

Lại có: \(\widehat{ADB}+\widehat{ADC}=180^0\) (Hai góc kề bù)

\(\Leftrightarrow\widehat{ADB}=\widehat{ADC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)

\(\Leftrightarrow AD\perp BC\)

c) Có D là trung điểm của BC

\(\Leftrightarrow BD=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}.12=6\left(cm\right)\)

Lại có tam giác ABC cân tại A

\(\Leftrightarrow AC=AB=10\left(cm\right)\)

Áp dụng dịnh lý Pitago vào tam giác ABD, có:

\(AB^2=AD^2+BD^2\)

Hay \(10=AD^2+6^2\)

\(\Leftrightarrow AD^2=10^2-6^2=64\)

\(AD=\sqrt{64}=8\left(cm\right)\)

d) Xét tam giác BDE và tam giác CDF, có:

\(\widehat{BED}=\widehat{CFD}=90^0\)

\(BD=CD\) (D là trung điểm của BC)

\(\widehat{B}=\widehat{C}\) (Tam giác ABC cân tại A) \(\Rightarrow\Delta BDE=\Delta CDF\left(ch-gn\right)\) \(\Rightarrow DE=DF\) (Hai cạnh tương ứng) \(\Rightarrow\Delta DEF\) cân tại D Vậy ...

Answer 2

[Lê Ngọc Phương Nhung]

Giải:

a)Xét Δ ABD và Δ ACD có:

AD là cạnh chung

AB=AC (vì Δ ABC cân tại A)

BD=CD (vì D là trung điểm của BC)

Vậy: Δ ABD = Δ ACD (c.c.c)

b)Vì Δ ABD = Δ ACD (chứng minh trên)

nên: \(\widehat{ADB}=\widehat{ADC}\) (hai góc tương ứng)

mà: \(\widehat{ADB}+\widehat{ADC}=180^0\) (kề bù)

nên: \(\widehat{ADB}+\widehat{ADB}=180^0\)

\(2\widehat{ADB}=180^0\)

\(\widehat{ADB}=\dfrac{180^0}{2}\)

\(\widehat{ADB}=90^0\)

Do đó: AD⊥BC tại D
c)Ta có: BD=CD (vì D là trung điểm của BC)

Mà: BC=12cm (giả thiết)

lại có: BC=BD+CD

nên: \(BD=CD=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{12}{2}=6cm\)

* Áp dụng định lí Pi-ta-go vào Δ ADC vuông tại D có:

\(AC^2=AD^2+CD^2\)

\(10^2=AD^2+6^2\)

\(100=AD^2+36\)

\(AD^2=100-36\)

\(AD^2=64\)

\(AD=\sqrt{64}\left(AD>0\right)\)

Vậy: AD=8(cm)

d)Xét Δ BED vuông tại E và Δ CFD cân tại F có:

\(\widehat{B}=\widehat{C}\) (vì Δ ABC cân tại A)

\(BD=CD\) (vì D là trung điểm của BC)

Vậy: Δ BED =Δ CFD ( cạnh huyền_góc nhọn)

\(\Rightarrow DE=DF\) (hai cạnh tương ứng)

Do đó: Δ DEF cân tại D