cho \(a\ge3\) \(b\ge4\) \(c\ge2\) . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
S=\(\dfrac{ab\sqrt{c-2}+bc\sqrt{a-3}+ca\sqrt{b-4}}{2\sqrt{2}}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(A=\frac{1}{6}\left(6-2x\right)\left(12-3y\right)\left(2x+3y\right)\)
\(A\le\frac{1}{6}\left(\frac{6-2x+12-3y+2x+3y}{3}\right)^3=36\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=2\end{matrix}\right.\)
\(A=\frac{\frac{ab}{\sqrt{2}}\sqrt{2\left(c-2\right)}+\frac{bc}{\sqrt{3}}\sqrt{3\left(a-3\right)}+\frac{ca}{2}\sqrt{4\left(b-4\right)}}{abc}\)
\(A\le\frac{\frac{abc}{2\sqrt{2}}+\frac{abc}{2\sqrt{3}}+\frac{abc}{4}}{abc}=\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}+\frac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=6\\b=8\\c=4\end{matrix}\right.\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
*Sửa đề: tìm GTNN
\(A=\frac{ab\sqrt{c-2}+bc\sqrt{a-3}+ca\sqrt{b-4}}{abc}\)
\(=\frac{\sqrt{c-2}}{c}+\frac{\sqrt{a-3}}{a}+\frac{\sqrt{b-4}}{b}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{\sqrt{c-2}}{c}=\frac{\sqrt{2\left(c-2\right)}}{\sqrt{2}c}\ge\frac{\frac{2+c-2}{2}}{\sqrt{2}c}=\frac{\frac{c}{2}}{\sqrt{2}c}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\)
TƯơng tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\frac{\sqrt{a-3}}{a}\ge\frac{1}{2\sqrt{3}};\frac{\sqrt{b-4}}{b}\ge\frac{1}{2\sqrt{4}}\)
Suy ra \(A\ge\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}\right)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\left(\frac{1}{2\sqrt{2}}c-\sqrt{2}\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\frac{1}{8}c^2-c+2\ge0\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2\sqrt{2}}c\ge\sqrt{c-2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2\sqrt{2}}\ge\frac{\sqrt{c-2}}{c}\)
tương tự \(\left(\frac{1}{2\sqrt{3}}a-\sqrt{3}\right)^2\ge0\Rightarrow\frac{1}{2\sqrt{3}}\ge\frac{\sqrt{a-3}}{a}\)
\(\left(\frac{1}{4}b-2\right)^2\ge0\Rightarrow\frac{1}{4}\ge\frac{\sqrt{b-4}}{b}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}+\frac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra <=>c=4;a=6;b=8
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\sqrt{\dfrac{ab}{c+ab}}=\sqrt{\dfrac{ab}{c\left(a+b+c\right)+ab}}=\sqrt{\dfrac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}\right)\)
Tương tự: \(\sqrt{\dfrac{bc}{a+bc}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{a+c}\right)\) ; \(\sqrt{\dfrac{ca}{b+ca}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{c}{b+c}\right)\)
Cộng vế với vế:
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{a}{a+b}\right)=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
Cho a, b, c, d là các chữ số thỏa mãn: ab+ca=da ab-ca=a Tìm giá trị của d.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có \(ab+bc+ca=3abc\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3\)
Đặt \(x=\dfrac{1}{a},y=\dfrac{1}{b},z=\dfrac{1}{c}\) thì ta có \(x,y,z>0;x+y+z=3\) và
\(\sqrt{\dfrac{a}{3b^2c^2+abc}}=\sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{x}}{3.\dfrac{1}{y^2z^2}+\dfrac{1}{xyz}}}=\sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{x}}{\dfrac{3x+yz}{xy^2z^2}}}=\sqrt{\dfrac{y^2z^2}{3x+yz}}\) \(=\dfrac{yz}{\sqrt{3x+yz}}\) \(=\dfrac{yz}{\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}}\) \(=\dfrac{yz}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
Do đó \(T=\dfrac{yz}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\dfrac{zx}{\sqrt{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}+\dfrac{xy}{\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\)
Lại có \(\dfrac{yz}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\dfrac{yz}{2\left(x+y\right)}+\dfrac{yz}{2\left(x+z\right)}\)
Lập 2 BĐT tương tự rồi cộng theo vế, ta được \(T\le\dfrac{yz}{2\left(x+y\right)}+\dfrac{yz}{2\left(x+z\right)}+\dfrac{zx}{2\left(y+z\right)}+\dfrac{zx}{2\left(y+x\right)}\) \(+\dfrac{xy}{2\left(z+x\right)}+\dfrac{xy}{2\left(z+y\right)}\)
\(T\le\dfrac{yz+zx}{2\left(x+y\right)}+\dfrac{xy+zx}{2\left(y+z\right)}+\dfrac{xy+yz}{2\left(z+x\right)}\)
\(T\le\dfrac{x+y+z}{2}\) (do \(x+y+z=3\))
\(T\le\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\) \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Vậy \(maxT=\dfrac{3}{2}\), xảy ra khi \(a=b=c=1\)
(Mình muốn gửi lời cảm ơn tới bạn Nguyễn Đức Trí vì ý tưởng của bài này chính là bài mình vừa hỏi lúc nãy trên diễn đàn. Cảm ơn bạn Trí rất nhiều vì đã giúp mình có được lời giải này.)
Bạn Lê Song Phương xem lại dùm nhé, thanks!
\(...\dfrac{yz}{\sqrt[]{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\dfrac{2yz}{x+y}+\dfrac{2yz}{x+z}\)
\(...\Rightarrow T\le2.3=6\)
\(\Rightarrow GTLN\left(T\right)=6\left(tạia=b=c=1\right)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có : \(\frac{ab\sqrt{c-2}+bc\sqrt{a-3}+ac\sqrt{b-4}}{abc}=\frac{\sqrt{c-2}}{c}+\frac{\sqrt{a-3}}{a}+\frac{\sqrt{b-4}}{b}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có :
\(\frac{\sqrt{c-2}}{c}=\frac{\sqrt{2\left(c-2\right)}}{\sqrt{2}c}\le\frac{2+c-2}{2\sqrt{2}c}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\)
\(\frac{\sqrt{a-3}}{a}=\frac{\sqrt{3\left(a-3\right)}}{\sqrt{3}a}\le\frac{3+a-3}{2\sqrt{3}a}=\frac{1}{2\sqrt{3}}\)
\(\frac{\sqrt{b-4}}{b}=\frac{\sqrt{4\left(b-4\right)}}{2b}\le\frac{4+b-4}{4b}=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{c-2}}{c}+\frac{\sqrt{a-3}}{a}+\frac{\sqrt{b-4}}{b}\le\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}+\frac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}c-2=2\\b-4=4\\a-3=3\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}c=4\\b=8\\a=6\end{cases}}\)
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là \(\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}+\frac{1}{4}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=6\\b=8\\c=4\end{cases}}\)
phá ra nha
sau đó bạn lm theo tek này
\(\frac{\sqrt{c-2}}{c}=\frac{\sqrt{2\left(c-2\right)}}{\sqrt{2}c}\le\frac{\frac{c}{2}}{\sqrt{2}c}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
mấy cái kia tt nha
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có : \(\sqrt{\frac{ab}{ab+2c}}=\sqrt{\frac{ab}{ab+\left(a+b+c\right)c}}=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}\)
Tương tự ta cũng có
\(\sqrt{\frac{bc}{bc+2a}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}\right);\sqrt{\frac{ca}{ca+2b}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{c+a}+\frac{a}{a+b}\right)\)
Cộng các vế ta được \(S\le\frac{1}{2}\left(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}\right)=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{2}{3}\)
Vậy \(S_{max}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)
hình như ở mẫu là abc :>
Mẫu là abc nó lại khác nó dễ hơn thế này nhiều vì khi đó mẫu và tử sẽ hết abc