K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
22 tháng 1 2018

Lời giải:

Ta có: \((x+y)^3=xy(3x+3y+2)\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3+3xy(x+y)=3xy(x+y)+2xy\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3=2xy\)

Nếu trong hai số $x,y$ tồn tại số bằng $0$ thì \(\sqrt{1-xy}=1\in\mathbb{Q}\)

Nếu cả hai số $x,y$ đều khác $0$

Chia cả hai vế cho $xy$ ta thu được:

\(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}=2\)

\(\Leftrightarrow \left(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\right)^2=4\)

\(\Leftrightarrow \frac{x^4}{y^2}+\frac{y^4}{x^2}+2xy=4\)

\(\Leftrightarrow \frac{x^4}{y^2}+\frac{y^4}{x^2}-2xy=4-4xy\)

\(\Leftrightarrow \left(\frac{x^2}{y}-\frac{y^2}{x}\right)^2=4(1-xy)\)

\(\Leftrightarrow 1-xy=\left(\frac{x^2}{2y}-\frac{y^2}{2x}\right)^2\)

\(\Rightarrow \sqrt{1-xy}=|\frac{x^2}{2y}-\frac{y^2}{2x}|\in \mathbb{Q}\) do \(x,y\in\mathbb{Q}\)

Ta có đpcm.

20 tháng 11 2019

Đẳng thức đã cho tương đương với 

\(x^2+2xy+y^2+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2=2+2xy.\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2-2\left(xy+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2\left(x+y\right).\frac{xy+1}{x+y}+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-\frac{xy+1}{x+y}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x+y-\frac{xy+1}{x+y}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=xy+1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{1+xy}=|x+y|\)

Vì x,y là số hữu tỉ nên Vế phải của đẳng thức là số hữu tỉ => Điều phải chứng minh

19 tháng 3 2019

Thật sự ra mục đích bài này đi chứng minh biểu thức trong ngoặc là scp

Đây là dề thi HSG toán cấp tỉnh Đồng Tháp

Có: \(\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}\)

\(=\sqrt{\left(x^2+xy+yz+xz\right)\left(y^2+xy+yz+xz\right)\left(z^2+xy+yz+xz\right)}\)

Sau đó thực hiên phân tích đa thức thành nhân tử mỗi ngoặc

\(=\sqrt{\left(x+y\right)^2\left(y+z\right)^2\left(x+z\right)^2}\)

\(=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\)là số hữu tỉ

Vậy

Câu số 1b đề thi hsg

Chào anh từ  huyện Cao Lãnh 

21 tháng 11 2019

\(x^2+y^2+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2=2\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2=2+2xy\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2-2\left(1+xy\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2-2\left(x+y\right).\frac{xy+1}{x+y}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-\frac{xy+1}{x+y}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-\frac{xy+1}{x+y}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x+y=\frac{xy+1}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow xy+1=\left(x+y\right)^2\)

Vì x,y là các số hữu tỉ nên xy + 1 là bình phương của 1 số hữu tỉ (đpcm)

25 tháng 11 2021

Đặt \(\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{5}=k\)

⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}x=3k\\y=5k\end{matrix}\right.\)

\(xy=60\) 

⇒ \(3k.5k=60\)

⇒ \(15k^2=60\)

⇒ \(\left[{}\begin{matrix}k=2\\k=-2\end{matrix}\right.\)

Bạn thay vào nữa là được nha