K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

15 tháng 1 2018

\(\int e^x.\cos xdx\)

= \(\int\cos xd\left(e^x\right)\)

= ex . cos x - \(\int e^xd\left(\cos x\right)\)

= ex cos x + \(\int\sin x.e^xdx\)

= ex cos x + \(\int\sin xd\left(e^x\right)\)

= ex cos x + sin x . ex - \(\int e^xd\left(\sin x\right)\)

= ex ( cos x - sin x ) - \(\int e^x.\cos xdx\)

= \(\int e^x.\cos x=\dfrac{e^x\left(\cos x+\sin x\right)}{2}\)

Vậy a = b = \(\dfrac{1}{2}\)

20 tháng 3 2016

Một trong các nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)=\cos x+\sin x\) là hàm số \(\sin x-\cos x\) . Từ định lí nếu hàm số f(x) có nguyên hàm F(x) trên khoảng (a,b) thì trên khoảng đó nó có vô số nguyên hàm và hai nguyên hàm bất kì của cùng một hàm cho trên khoảng (a,b) là sai khác nhau một hằng số cộng. suy ra mọi nguyên hàm số đã cho đều có dạng \(F\left(x\right)=\sin x-\cos x+C\), trong đó C là hằng số nào đó. 

Để xác định hằng số C ta sử dụng điều kiện F(0)=1

Từ điều kiện này và biểu thức F(x) ta có :

\(\sin0-\cos0+C=1\Rightarrow C=1+\cos0=2\)

Do đó hàm số \(F\left(x\right)=\sin x-\cos x+2\) là nguyên hàm cần tìm

AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 1 2018

Lời giải:

Ta có:

\(F(x)=\int f(x)dx=\int e^x\cos xdx\)

Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=e^x\\ dv=\cos xdx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=e^xdx\\ v=\int \cos xdx=\sin x\end{matrix}\right.\)

Do đó:

\(F(x)=\int e^x\cos xdx=e^x\sin x-\int \sin x.e^xdx+c\) (1)

Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=e^x\\ dv=\sin xdx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=e^xdx\\ v=\int \sin xdx=-cos x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \int \sin x.e^xdx=-\cos x.e^x+\int \cos x.e^xdx+c\) (2)

Từ (1)(2) suy ra:

\(F(x)=e^x.\sin x+\cos x.e^x-\int \cos x.e^xdx+c\)

\(\Leftrightarrow F(x)=e^x\sin x+e^x\cos x-F(x)+c\)

\(\Leftrightarrow F(x)=\frac{1}{2}e^x(\sin x+\cos x)+c\)

Do đó: \(a=b=\frac{1}{2}\)

19 tháng 12 2019

Chọn A.

F ' ( x ) = sin x - cos x ' sin x - cos x = cos x + sin x sin x - cos x

12 tháng 1 2017

Đáp án C

4 tháng 9 2017

Chọn C

1 tháng 12 2018

Đáp án D

23 tháng 1 2016

Biến đổi :

\(4\sin x+3\cos x=A\left(\sin x+2\cos x\right)+B\left(\cos x-2\sin x\right)=\left(A-2B\right)\sin x+\left(2A+B\right)\cos x\)

Đồng nhất hệ số hai tử số, ta có :

\(\begin{cases}A-2B=4\\2A+B=3\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}A=2\\B=-1\end{cases}\)

Khi đó \(f\left(x\right)=\frac{2\left(\left(\sin x+2\cos x\right)\right)-\left(\left(\sin x-2\cos x\right)\right)}{\left(\sin x+2\cos x\right)}=2-\frac{\cos x-2\sin x}{\sin x+2\cos x}\)

Do đó, 

\(F\left(x\right)=\int f\left(x\right)dx=\int\left(2-\frac{\cos x-2\sin x}{\sin x+2\cos x}\right)dx=2\int dx-\int\frac{\left(\cos x-2\sin x\right)dx}{\sin x+2\cos x}=2x-\ln\left|\sin x+2\cos x\right|+C\)

HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
22 tháng 9 2023

Vì hai làm lượng giác \(y = \sin x,y = \cos x\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \sin x + \cos x\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)