Cho a,b,c là 3 số thức dương thỏa mãn a + b + c = 1/a + 1/b + 1/c . CMR
2( a + b + c) \(\ge\) \(\sqrt{a^2+3}+\sqrt{b^2+3}+\sqrt{c^2+3}\)
Giải:
Dễ thấy bđt cần cm tương đương với mỗi bđt trong dãy...
Đọc tiếp
Cho a,b,c là 3 số thức dương thỏa mãn a + b + c = 1/a + 1/b + 1/c . CMR
2( a + b + c) \(\ge\) \(\sqrt{a^2+3}+\sqrt{b^2+3}+\sqrt{c^2+3}\)
Giải:
Dễ thấy bđt cần cm tương đương với mỗi bđt trong dãy sau:
\(\left(2a-\sqrt{a^2+3}\right)+\left(2b-\sqrt{b^2+3}\right)+\left(2c-\sqrt{c^2+3}\right)\ge0\),
\(\dfrac{a^2-1}{2a+\sqrt{a^2+3}}+\dfrac{b^2-1}{2b+\sqrt{b^2+3}}+\dfrac{c^2-1}{2c+\sqrt{c^2+3}}\ge0\),
\(\dfrac{\dfrac{a^2-1}{a}}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{a^2}}}+\dfrac{\dfrac{b^2-1}{b}}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{b^2}}}+\dfrac{\dfrac{c^2-1}{c}}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{b^2}}}\ge0\)
Các bđt trên đầu mang tính đối xứng giữa các biến nên k mất tính tổng quát ta có thể giả sử \(a\ge b\ge c\)
=> \(\dfrac{a^2-1}{a}\ge\dfrac{b^2-1}{b}\ge\dfrac{c^2-1}{c}\)
và \(\dfrac{1}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{a^2}}}\ge\dfrac{1}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{b^2}}}\ge\dfrac{1}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{c^2}}}\)
Áp dụng bđt Chebyshev có:
\(\dfrac{\dfrac{a^2-1}{a}}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{a^2}}}+\dfrac{\dfrac{b^2-1}{b}}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{b^2}}}+\dfrac{\dfrac{c^2-1}{c}}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{c^2}}}\ge\dfrac{1}{3}\left(\sum\dfrac{a^2-1}{a}\right)\left(\sum\dfrac{1}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{a^2}}}\right)\)
Theo gia thiết lại có: \(\sum\dfrac{a^2-1}{a}=\left(a+b+c\right)-\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=0\)
nên ta có thể suy ra \(\dfrac{\dfrac{a^2-1}{a}}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{a^2}}}+\dfrac{\dfrac{b^2-1}{b}}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{b^2}}}+\dfrac{\dfrac{c^2-1}{c}}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{c^2}}}\ge0\)
Vì vậy bđt đã cho ban đầu cũng đúng.
@Ace Legona
Ta có: \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}\right)^2-2\sqrt{ab}+\left(\sqrt{b}\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) luôn đúng
Dấu \("="\) xảy ra khi a = b.
Cauchy-shwarz:
\(\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow bx^2\left(a+b\right)+ay^2\left(a+b\right)\ge\left(x+y\right)^2ab\)
\(\Leftrightarrow\left(abx^2-abx^2\right)+\left(aby^2-aby^2\right)+\left(bx\right)^2-2bxay+\left(ay\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(bx-ay\right)^2\ge0\) luôn đúng
Dấu \("="\) xảy ra khi \(bx=ay\Leftrightarrow\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}\)
Hằng đẳng thức thứ 2 à